Sistèma de coordenadas

Un sistèma de coordenadas (var. sistema de cordonaas) es un sistèma que permet, en matematicas, de determinar la posicion d'un punt dens un espaci definit. N'existeish un nombre gran qui son adaptats a situacions diferentas. Son elements importants de las sciéncias e de l'engenheria modèrnas pr'amor que los sistèmas de coordenadas an aplicacions importantas en matematicas, en fisica, en astronomia, en geografia, en medecina... etc.

Exemple d'utilizacion d'un sistèma de coordenadas cartesianas dens un plan.

Sistèmas corrents

Dreta numerica

Ua dreta numerica es, en matematicas elementàrias, l'imatge d'ua linha dreta graduada qui sèrv de representacion visuau deus nombres reaus. Los nombres entièrs i son sovent representats com punts regularament espaciats sus la linha. La dreta numerica es un sistèma de coordenadas simple utile entà comparar dus nombres. Pòt tanben servir de supòrt a construccions matematicas complèxas com la dreta deus nombres reaus.

Representacion de la dreta reau

Coordenadas cartesianas

Article detalhat: Coordenadas cartesianas.

Un sistèma de coordenadas cartesianas permet de determinar la posicion d'un punt dens un espaci afina (dreta, plan, espaci de dimension 3, etc.) dotat d'ua mèrca cartesiana. Lo mot « cartesian » vien deu matematician e filosòfe francés René Descartes (1596-1650). Ua mèrca cartesiana es compausada :

• d'ua basa, es a díser ua familha de vectors particulars permetent de designar de faiçon unica un aute vector per combinason lineara.
• d'un punt de referéncia generaument notat O.

Adaptadas aus espacis de dimension 2 e 3 de la vita correnta, las coordenadas cartesianas son probablament las mei conegudas e las mei utilizadas. Utilizan normaument las letras x, y e z entà notar l'abscissa, l'ordonada e la hautor.

Coordonadas cartesianas dens un espaci de dimension 3

Coordenadas polaras

Article detalhat: Coordenadas polaras.

Las coordenadas polaras son un sistèma de coordenadas curvilinèas utilizat dens espacis de dimension 2. Cada punt deu plan i es determinat per un angle, generaument notat θ, e ua distància generaument notada r. Son utilas entà estudiar movements circulars dens un plan com, per exemple, dens lo cas deu pendule simple. En efèit, dens aqueth cas, l'utilizacion de las coordenadas cartesianas entraina l'aparicion de tèrmes trigonometrics.

Coordenadas polaras

Coordenadas cilindricas

Article detalhat: Coordenadas cilindricas.

Un sistèma de coordenadas cilindricas es un sistèma de coordenadas curvilinèas ortogonaus qui generaliza a l'espaci lo sistèma de las coordenadas polaras deu plan. Atau, ajustan un tresau paramètre, generaument notat z, qui correspon a la hautor deu punt. Las coordenadas cilindricas son adaptadas entà indicar la posicion d'un punt dens l'espaci. Per venciva, ne sèrven pas a la representacion deus vectors.

Coordenadas cilindricas

Coordenadas esfericas

Article detalhat: Coordenadas esfericas.

Las coordenadas esfericas corresponen a sistèmas de coordenadas ortogonaus de l'espaci analògues a las coordenadas polaras deu plan. Un punt de l'espaci i es localizat per ua distància, generaument notada ρ, e per dus angles generaument notats θ e φ. Son sovent utilizadas en geografia : l'altitud, la latitud e la longitud son ua varianta d'aqueras coordenadas. Autas variantas son utilizadas en astrometria, en geodesia, en meteorologia, en cristallografia e en fisiologia. Los angles d'Euler, introdusits entà orientar un solide per raport a un trièdre cartesian de referéncia, pòden estar vists com ua generalizacion de las coordenadas esfericas.

Coordenadas esfericas

Sistèmas utilizats en astronomia

Article detalhat: Sistèma de coordenadas celèstas.

En astronomia, lo calcul de las trajectòrias d'objèctes celèstes necessita l'utilizacion d'un nombre important de sistèmas de coordenadas adaptats a l'escala deu sistèma estudiat. De mei, aqueths sistèmas deven estar capables de har compte de las particularitats deus movements espaciaus (ellipsis, corbadura de l'espaci-temps, etc.). Los astronòmes an donc desvolopat sistèmas variats :

• lo sistèma de coordenadas orizontaus (o sistèma local) es utilizat per un observator au sòu. Separa lo cèu en dus emisfèris situat au dessús de l'observator e en devath, amagat peu sòu. La hautor e l'azimut son los dus paramètres principaus d'aqueth sistèma. Lo problèma d'aqueth sistèma es que depend deu lòc d'observacion.
• lo sistèma de coordenadas equatoriaus es un sistèma basat sus la projeccion sus l'esfèra celèsta de las longituds e latituds terrèstras. Aquò permet d'aver un sistèma de coordenadas independent de la localizacion de l'observator. Totun, la soa utilizacion es mei complicada.
• lo sistèma de coordenadas oràrias es un sistèma intermediari enter los dus precedents. Es utilizat entà reglar las mòstras sorelhèras.
• lo sistèma de coordenadas eclipticas utiliza lo plan de l'ecliptica com referéncia. Es practic entà seguir la posicion de las planetas.
• lo sistèma de coordenadas galacticas es concebut entà seguir objèctes situats en la nosta galaxia.
• lo sistèma de coordinadas supergalacticas es basat suu plan deu superamàs de galaxias locau. Permet de localizar objèctes situats en dehòra de la galaxia.

Transformacion

Ua transformacion de coordenadas es ua conversion d'un sistèma de coordenadas a un aute entà descríver lo medish espaci. En efèit, segon lo sistèma estudiat, ua causida de coordenadas pòt estar mei adaptat a ua situacion dada. A còps, un sistèma de coordenadas non adaptat a ua situacion pòt miar a paradòxas. Dens lo cas generau, es possible de resòlver lo problèma en cambiant de sistèma de coordenadas. Totun, la lhevada de la paradòxa es impossibla en preséncia d'ua singularitat matematica vertadèra (per exemple, en fisica, un trauc negre).

Annèx

Ligames intèrnes

• Altitud.
• Angle.
• Cartografia.
• Coordenadas cartesianas.
• Coordenadas cilindricas.
• Coordenadas curvilinèas.
• Coordenadas esfericas.
• Coordenadas polaras.
• Geometria.
• Sistèma de coordenadas celèstas.
• GPS.
• Latitud.
• Longitud.
• Matematicas.
• Projeccion cartografica.
• Punt.
• Referenciau.

Bibliografia

• (en) Nautical Almanac Office, U.S. Naval Observatory et H.M. Nautical Almanac Office, Royal Greenwich Observatory, Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac, H.M. Stationery Office, 1961.
• (fr) Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique. Livre III : Topologie générale, Hermann, 1971.
• (fr) René Descartes, Le Livre Premier de La Géométrie de Descartes, 1637.
• (fr) Jean Hladik, Le calcul vectoriel en physique, Ellipses, 1998.
• (en) Granino A. Korn e Theresa M. Korn, Mathematical handbook for scientists and engineers; definitions, theorems, and formulas for reference and review, McGraw-Hill, 1961.
• (en) James Munkres, Topology, 2^a edicion, Prentice Hall, 1999.
• (fr) Yves Noirot, Jean-Paul Parisot e Nathalie Brouillet (pref. Michel Combarnous), Mathématiques pour la physique, Dunod, 1997.
• (fr) R. Taillet, L. Villain e P. Febvre, Dictionnaire de physique, 4^a edicion, De Boeck Sup., 2018.
• (de) Bertold Witte e Peter Sparla, Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen, 7^a edicion, Wichmann, 2011.