Punt (geometria)

En geometria, un punt (var. ponch) es lo mai pichon element constitutiu de l'espaci geometric, es a dire un luòc ont se pòt distinguir pas cap d'autre luòc qu'el meteis.

En geometria euclidiana elementària

Lo punt, segon Euclides, es çò qu'a pas cap de partida. Se pòt tanben dire mai simplament qu'un punt designa pas un objècte mas un emplaçament. A donc pas cap dimension, longor, largor, espessor, volum o airal. Sa sola caracteristica es sa posicion. Se dich a vegada qu'es « infinidament pichon ». Totas las figuras del plan e de l'espaci son constituidas d'ensemble de punts.

Lo punt essent considerat coma l'unic element comun a doas drechas secantas, se representa abitualament lo punt per una crotz (interseccion de dos segmentets) puslèu que par le glif del meteis nom.

Quand lo plan o l'espaci es dotat d'una marca cartesiena, se pòt posicionar tot punt al respècte dels axes d'aquela marca per sas coordonadas cartesianas; lo punt es alara associat a un parelh de reals en dimension 2 o un triplet de reals en dimension 3. Existís pasmens d'autres biais de marcar los punts (coordonadas polaras en dimension dos, coordonadas esfericas o coordonadas cilindricas en dimension 3)

En geometria afina

Dins un espaci afin E associat a l'espaci vectorial V, los elements de E son nomenats los punts e los elements de V son nomenats los vectors. A cada parelh de punts (A,B), s'associa un vector: $\phi (A,B)={\vec {u}}$ verificant las proprietats seguentas:

– la relacion de Chasles : $\phi (A,B)+\phi (B,C)=\phi (A,C)$;

– se A es fixat, i a correspondéncia bijectiva entre los punts de l'espaci afin E e los vectors de l'espaci vectorial V, es l'applicacion que, al punt B, associa lo vector $\phi (A,B)$.

En geometria projectiva

En geometria projectiva, los punts de l'espaci projectiu E associat a l'espaci vectorial V son las drechas vectorialas de V. Quand l'espaci vectorial V es de dimension n, e que li es associat un espaie afin A, es frequent d'associar a l'espaci E dos ensembles de punts: l'ensemble dels punts d'un sosespaci afin A' de dimension n-1 d'equacion x = 1 (per exemple) e l'ensemble de las drechas vectorialas del sosespaci vectorial V' associat a A.

L'espaci projectiu E es alara assimilat a un espaci afin A' que s'apond las drechas vectorialas de V'. Se distinguís alara, dins E, los punts de tipe afin (aqueles dins A') e los autres nomenats punts a l'infinit.

En particular, se K es un còs, lo K-plan projectifu (l'espaci projectiu associat a K²) es assimilable al còs K que s'apond un punt a l'infinit.

Istòria

La nocion de punt, en matematicas, a uèi un sens fòrça larg. Istoricament, los punts èra los « constituissents » fondamentals, los « atòms », qu'èran fach las drechas, los plan e l'espaci, tals coma los concebavan los geomètres grècs de l'Antiquitat. se disiá atal qu'una drecha, un plan o l'espaci tot entièr èran d'ensemble de punts.

Dempuèi la creacion de la teoria dels ensembles par Georg Cantor a la fin del sègle XIX e l'espelida de las « estructuras matematicas » que se ne seguís, s'utiliza lo tèrme de « punt » per designar un element quin que siá d'un ensemble que se decidís arbitrariament de nomenar « espaci »: es tanben que se parlarà d'un punt de la drecha dels nombre reals (alors que los Grècs faisiá evidentament la distinccion entre un « punt » e un « nombre »), d'un punt d'un espaci metric, d'un espaci topografic, d'un espaci projectiu, eca.

De brèu, sufisís qu'un matematician qualifica « d'espaci » tal o tal ensemble, al sens mai general d'aquel tèrme e dotat de proprietats particularas regidas per d'axiòmas, per que sos elements sián sul còp qualificats de « punts ».

Atla, uèi, lo tèrme « d'espaci » essent gaireben vengut sinonim « d'ensemble », lo tèrme « punt » es donc gaireben vengut sinomim « d'element ». Aqueles tèrmes « d'espaci » e de « punts » son just utilizat per lor poder suggestiu, quitament s'aqueles tèrmes en question a pas mai a veire amb la geometria.

Referéncias

• Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75.
• De Laguna, T., 1922, « Point, line and surface as sets of solids », The Journal of Philosophy 19: 449-61.
• Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015-31.
• Whitehead A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2^en éd., 1925.
• --------, 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
• --------, 1979 (1929). Procès et réalité. Free Press.

Ligams extèrnes

• Definition of Point amb applet interactive
• Points definition pages, amb d'animacions interactiva tan utilas per ensen har. Math Open Reference
• (en) Point de PlanetMath
• (en) Eric W. Weisstein, « Point », MathWorld