Triangle

En geometria euclidiana, un triangle es une figura plana, formada de tres punts nomenat vertèxes, pels tres segments que los ligan, nomenat costats, terminant un domeni del plan nomenat interior. Quand los vertèxes son distinctes dos a dos, dins cada vertèx los costats delimitant un angle interior, que lo nom de « triangle ».

Un triangle.

Lo triangle es tanben lo poligòn mai simple que délimita una partida del plan e servís atal d'element fondamental pel decopatge e l'aproximacion de superfícias.

Fòrça construccions geometricas de punts, drechas e cercles associats a un triangle son ligadas per de propriatats qu'èran plan sovent ja enonciats dins los Elements d'Euclides, prèp de 300 ans abans Crist. Las relacions entre las mesures dels angles e las longors dels costats son sobretot a l'origina de tecnicas de calcul de distàncias per triangulacion. Lo desvolopament d'aquelas tecnicas constituís encara una branca de las matematicas nomenada trigonometria.

Fòra de la geometria euclidiana, los costats d'un triangle son remplaçat per d'arcs geodesics e fòrça de las siás proprietats son modificada.

Article detalhat: Triangle (geometrias non euclidianas).

La forma triangulara se torna trobar dins fòrça objèctes, matematics o non, e se carguèt de simbolicas divèrsas. fòrça caractèrs tipografics presentan una forma meteissa.

Article detalhat: Simbolic del triangle.

Descripcion

Notacions

Notacions usualas per un triangle $ABC$

Un triangle es completament determinat per la donada de sos tres vertèxes e se nota en general ne juxtapausant las tres letras (a priori capitalas) que los designan. L'òrdre d'aquelas letras a pas d'importéncia pasmens se l'òrdre d'enonciacion correspond en general a un parcors dins lo sens trigonometric a l'entorn del triangle. La longor d'un costat es classicament notada amb la letra minuscula correspondent al vertèx oposat.

Se totes los vertèxes son distinctes, cada angle geometric pòt èsser identificat per la letra del vertèx correspondent, amb un accent circonflèx. Dins lo cas que la figura comprend d'autres segments passant pels vertèxes, los costats de l'angle son precizats per las letras designant los dos autres vertèxes de cada costat de l'accent circonflèx. Aqueles angles pòdon tanben èsser notats amb una letra grèga en minuscula.

Premièras proprietats

Inegalitat triangulara

Article detalhat: Inegalitat triangulara.

Lo postulat euclidian segon que «la linha drecha es lo camin mai cort d'un punt cap a l'autre» s'illustra pel fach que dins un triangle, la longor de cada costat es inferiora a la soma de las longors dels dos autres costats:

$BC\leq BA+AC,\ AB\leq AC+CB\quad \mathrm {e} \quad AC\leq AB+BC.$

Lo cas d'egalitat caracteriza los triangles plans, ont un dels vertèxes aparten al segment que liga los dos autres.

Recipròcament, donadas tres longors (donadas per tres nombres reals positius) que cap es superiora a la soma dels dos autres, es possible de construire un triangle avent aquelas longors de costat. La verificacion d'aquelas inegalitats se pòt far sonque comparant la mai granda de las tres longors amb la soma de las doas autras, perque las doas autras inegalitats son necessàriament vertadièras.

Sufís alara de construire d'en primièr un segment d'una de las tres longors volgudas, puèi de traçar dos cercles centrats sus las extremitats d'aquel segment amb per rai cada de las doas autres longors. Ambedós cercles an alara dos punts d'interseccion e quin que siá d'aquel dos punts definís lo triangle de dimensions volguda amb lo vertèx inicial.

Vertèxes

La soma de las mesuras dels angles d'un triangle val 180°.

Article detalhat: Soma dels angles d'un triangle.

La soma dels angles d'un triangle es egala a un angle plan, d'una autra mena la soma de lors mesuras val 180° (gra) es a dire π radians. Aquela proprietat es una caracteristica de la geometria euclidiana. Existís d'autras geometrias, dichas geometrias non euclidianas, ont la soma dels angles d'un triangle es totjorn superiora a 180° (se diche alara de geometria elliptica) o al contrari inferiora (la geometria es alara dicha geometria iperbolica).

Recipròcament, essent donadas tres mesuras (non nullas) d'angles geometrics que la soma val un angle plan, existís un triangle avent aquelas mesuras d'angles. Sufís de traçar un segment d'una longor quina que siá e de traçar una miègdrecha en cada extremitat mas del meteis costat del segment, de biais que forme dos dels angles volguts amb lo segment inicial. Ambedoas miègdrechas aurán un punt d'interseccion que l'angle interior será lo tresen angle volgut.

Casses particulièrs

Un triangle qu'al mens dos vertèxes son confonduts es dich degenerat o en agulha.

Un triangle plan es un triangle que los vertèxes son alinhats.

Un triangle isocèl es un triangle avent al mens dos costats de meteissa longor. Ambedós angles adjacents al tresen costat son alara de meteissa mesura. Recipròcament, tot triangle avent dos angles de meteissa mesura es isocèl. Los triangles isocèls son los sols a aver un axe de simetria levat los triangles plans.

Un triangle equilateral es un triangle que los tres costats an la meteissa longor. Aqueles tres angles an alara la meteissa mesura que val doncas 60° e admet tres axes de simetria.

Un triangle qu'es ni isocèl (exclusissent tanben lo cas equilateral) ni plan se sona scalèn (del grèc σκαληνός (skalenos) : garrèl, inegal, desequilibrat, de biais...) S'agís donca d'un triangle avent tres costats de longors diferentas, tres angles de mesuras diferentas e ges d'axe de simetria.

• 
  Triangle isocèl.
• 
  Triangle equilateral.
• 
  Triangle scalèn.

Un triangle rectangle es un triangle avent un angle drech, es a dire que mesura 90°. Satisfacha alara lo Teorèma de Pitagòras. Coma la soma dels angles d'un triangle val 180°, sonque pòt aver pas qu'un angle obtús (superior a l'angle drech). S'i a un, lo triangle es obtusangle o ambligòn. S'i a pas, es acutangle o oxigòn (A alara tres angles aguts).

• 
  Triangle obtusangle o ambligòn
• 
  Triangle rectangle
• 
  Triangle acutangle o oxigòn

Qualques triangles recebèron de denominacion particularas que determina lors angles:

• lo miègcarrat es un triangle isocèl rectangle, que pòt s'obtenir ne ligant tres vertèxes d'un carrat;
• lo triangle dels arpentaires o triangle « 3-4-5 » es un triangle rectangle que los costats son de longors 3, 4 et 5 en foncion d'une unitat fixada;
• lo triangle de l'escolan o triangle miègequilateral es un triangle rectangle que las mesuras dels angles son de 30°, 60° e 90° ;
• lo triangle d'aur es un triangle isocèl que los angles a la base valon dos cinquens de l'angle plat, siá 72° ;
• un triangle de Kepler es un triangle rectangle que las longors de costat seguisson una progression geometrica.

• 
  Miègcarrat.
• 
  Triangle dels arpentaires.
• 
  Triangle de l'escolan.
• 
  Triangle d'aur.
• 
  Triangle de Kepler.

Un triangle se sona bisocèl s'una de sas bissectriças lo partatja en dos triangles isocèls. Sonque pòt s'agir que d'un miègcarrat o d'un triangle d'aur.

Aira e perimètre

L'aira d'un triangle es donada per mai d'una formulas, la primièra essent foncion de la longor d'un costat, nomenada basa, e de la distància del vertèx opausat a la drecha que porta aquel costat, nonenada nautor.

${\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\times \mathrm {basa} \times \mathrm {nautor} .$

Aquela formula es derivada d'aquela de l'aira d'un parallelogram e demonstrada dins los Elements d'Euclides.

Article detalhat: Aira d'un triangle.

D'autres formulas fan apèl a la longor dels costats (formula d'Eron) o a las coordonadas dels vertèx dins un repèri ortonormat.

Lo perimètre d'un triangle es simplament la soma de las tres longors de costat. Per un perimètre $p$ donat, l'aira interiora del triangle es majorada per aquela del triangle equilateral correspondent:

${\mathcal {A}}\leq {\frac {p^{2}{\sqrt {3}}}{36}}.$

Relacions trigonometricas

Las longors dels costats d'un triangle e las mesuras dels sièus angles satisfaran mai d'una relacions que permeton totas de las calcular dempuèi calque d'unas. S'agís d'un costat, en mai de la formula de la soma dels angles, d'una relacion entre l'aira, la mesura d'un angle e la longor dels dos cestats adjacents:

${\mathcal {A}}={\dfrac {1}{2}}bc\,\sin {\hat {A}}$

que permet d'obtenir la formula dels sinus :

${\dfrac {a}{\sin {\hat {A}}}}={\dfrac {b}{\sin {\hat {B}}}}={\dfrac {c}{\sin {\hat {C}}}}$ ;

e mai, del teorèma d'Al-Kashi (o lei dels cosinus) que generaliza lo teorèma de Pitagores:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\hat {A}}$.

Utilizacions

Triangulacion

Las relacions metricas dins lo triangle permeton d'evaluar de distàncias dempuèi de mesuras angularas, coma per la navigacion maritima, en geodesia e en astronomia. Es segon aquel principi que foguèt mesurat lo meridian terrèstre per la definicion del mètre.

Descomposicion de superfícia

Los tres polièdres regulars convèxes de fàcias triangularas

Sul plan, lo calcul de l'aira d'un domeni pòt èsser evaluada en raprochant aquel domeni per una reünion de triangles disjonches.

Mai generalament, de superfícias de l'espaci pòdon èsser aproximada per une reünion de triangles nomenasa facietas. Aquela tecnica es utilizada en analisi numerica dins lo metòde dels elements finits, mas tanben en imatgeriá numerica. L'analisi vectoriala permet encara de calcular aviadament l'orientacion d'una quina facieta e de ne deduire la reflexion de la radiacion luminosa d'una font ponctuala dins una direccion donada.

Mai d'un polièdres (regulars o non) an de fàcias triangularas, coma lo tetraèdre, l'octaèdre, l'icosaèdre e lo grand icosaèdre. Los polièdres que totas las fàcias son de triangles equilaterals se sonant deltaèdres.

Encara, tot poligò se pòt descopar en un nombre finit de triangles que forman alara una triangulacion d'aquel poligòn. Lo nombre minimal de triangles necessari per çò far es $n-2$, que n es lo nombre de costats del poligòn. L'estudi dels triangles es fondamental per aquela dels demai poligòns, per exemple per la demonstracion del teorèma de Pick.

Construccions geometricas associadas

Triangle median

Lo triangle ligant los tres mitans dels costats d'un triangle es nomenat triangle median. Segon lo teorèma dels mitans, aquel triangle median a de costats parallèls al triangle inicial e de longors de costat proporcionalas dins un rapòrt de 1/2.

Triangle median, medianas e centre de gravitat.

Medianas e centre de gravitat

Dins un triangle scalèn, una mediana es un segment que liga un vertèx al mitan del costat oposat. Cada mediana divisa un triangle en dos triangles d'airas egalas.

Se lo triangle es non plan, las tres medianas son concorentas en un punt nomenat centre de gravitat. Aquel punt, sovent notat G e situat als dos tresens de cada mediana partent del vertèx, es a l'encòp l'isobaricentre dels tres vertèxes e lo centra de massa de l'interieur del triangle.

Las tres medianas concorentas divisan lo triangle en sièis triangles de meteissa aira.

La longor de la mediana es ligada a las longors dels autres costats pel teorèma de la mediana ou teorèma d'Apolloni.

Mediatriças e centre del cercle circonscrich

Mediatriças e cercle circonscrich.

Se lo triangle es non plat, las tres mediatriças dels costats (las drechas copant los costats a angle drech a lor mitan) son concorentas en un punt nomenat centre du cercle circonscrich, perqu'es lo sol equidistant dels tres vertèxes, es a dire qu'es lo centre del sol cercle passant pels tres vetèxes. Aquel centre es souvent notat O o $\Omega$ (« omega »).

Un triangle es rectangle se e pas que se son centre del cercle circonscrich es lo mitan de l'un de sos costats (qu'es alara son ipotenusa).

Article detalhat: Teorèma de Talés (cercle).

Per un triangle acutangle, lo centre del cercle circonscrich es a l'interior del quita triangle. Per un triangle obtusangle, aquel centre es a l'exterior.

Lo produch del rai del cercle circonscrich e de l'aira del triangle es lo quart del produch de las longors dels costats del triangle.

Nautors e ortocentre

Nautors e ortocentre.

Article detalhat: Nautor d'un triangle.

Se los tres vertèxes son distinctes, una nautor es una drecha passant per un vertèx e perpendiculara al costat oposat. Se lo triangle es non plat, las tres nautors sont concorentas en un punt nomenat ortocentre, sovent notat H.

Un triangle es rectangle se e pas que se son ortocentre es l'un dels vertèxes (ont se tròba alara l'angle drech). Per un triangle acutangle, l'ortocentre es a l'interior del triangle. Per un triangle obtusangle, es a l'exterior.

Las tres mediatriças d'un triangle son las tres nautors de son triangle median e en consequéncia, lo centre del cercle circonscrich a un triangle es l'ortocentre del triangle median.

Lo punt de Longchamps es lo simetric de l'ortocentre al repècte del centre del cercle circonscrich.

Bissectriças e cercle inscrich

Bissectriças e cercle inscrich.

So lo triangle es non plat, las tres bissectriças de sos angles (las miègdrechas que partejan los angles en dos angles de meteissa mesura) son concorantas en un punt nomenat centre del cercle inscrich, perqu'es lo centre del sol cercle tangent als tres costats. Aquel centre es en general notat I o J.

Segon lo teorèma de Steiner-Lehmus, las longors de doas bissectriças dans un triangle son egalas se e pas que se los angles correspondents an la meteissa mesura.

Los punts de contacte d'aquel cercle inscrich amb los costats forman lo triangle de Gergonne. Los segments ligant aqueles punts de contacte amb los vetèxes oposats dins lo triangle son concorentas en un punt nomenat punt de Gergonne.

Cada bissectritz divisa lo costat oposat en dos segments que las longors son ligadas a aquelas dels costats de l'angle mercé a la lei dels sinus.

Lo rai del cercle inscrich es lo quocient de l'aira del triangle per son miègperimètre.

Drecha e cercle d'Euler

Drecha e cercle d'Euler.

Lo centre de gravitat, lo centre del cercle circonscrich e l'ortocentre son alinhats sus una drecha nomenada drecha d'Euler e satisfason la relacion vectoriala:

${\overrightarrow {\Omega H}}=3{\overrightarrow {\Omega G}}.$

E mai, los mitans dels costats, los pés de las nautors e los mitans dels segments ligant l'ortocentre als vertèxes son totes sus un meteis cercle nomenat cercle d'Euler.

Relacions

Triangles isometrics

Dos triangles son diches isometrics, superposables s'an las meteissas longors de costat. Dins aquel cas es possible far correspondre los vertèxes de l'un amb los vertèxes de l'autre per una isometria (per exemple una translacion, une rotacion o una simetria) e aquela correspondéncia liga alara d'angles de meteissa mesura. Aqueles triangles an doncas tanben la meteissa aira.

Aquela premièra definicion es equivalenta a cada de las tres seguentas:

• las tres longors dels costats del primièr triangle son los meteisses qu'aquelas del segond (abrejat per CCC);
• Ambedós triangles an un angle de meteissa mesura compresa entre dos costats de meteissas longors (abrejat per CAC);
• Ambedós triangles an un costat de meteissa longor compresa entre dos angles de meteissas mesuras (abrejat per ACA).

Triangles semblables

Dos triangles avent las meteissas mesuras d'angle son dichs semblables. Son pas necessàriament isometrics, mas lors longors de costats son proporcionalas amb un meteis coeficient de proporcionalitat $k$. Lors airas son alara ligadas per un factor $k^{2}$.

Existís en efècte una similitud (qu'es la compausada d'una isometria e d'un omotecia) que transforma l'un en l'autre. Aquela definicion equival a:

• los tres angles del primier an meteissas mesuras qu'aqueles del segond (abrejat per AAA), (de fach dos angles sufison: lo tresen se'n deduís)

o encora a:

• las tres longors dels costats del primièr son proporcionalas a aquelas del segond.

Dos triangles isometrics son totjorn semblables. Dos triangles equilaterals (non necessàriament isometrics) tanben.

Autras figuras relativas

Existís tres autres cercles tangents a las drechas que pòrtan los costats d'un triangle, e sont totes tres exteriors a aquel triangle. Los punts d'interseccion d'aqueles cercles amb los costats del triangle forman lo triangle de Nagel. Los segments ligant aqueles punts de contacte amb los vertèxes del triangle son concorents en un punt nomenat punt de Nagel.

Lo cercle qu'un diamètre liga lo punt de Nagel a l'ortocentre es nomenat cercle de Fuhrmann e son rai es egal a la distància entre los centres dels cercles inscrich e circonscrich.

Los centres dels tres cercles forman lo triangle de Bevan, qu'es omotetic al triangle de Gergonne. Lo centre de son cercle circonscrich se nomena punt de Bevan.

Los tres cercles exinscriches son tangents interiorament a un cercle nomenat cercle d'Apolloni. Las drechas ligant los punts de contacte als vertèxes correspondents del triangle son concorents en un punt nomenat punt d'Apolloni.

Lo cercle inscrich e los tres cercles exinscriches son totes tangents al cercle d'Euler. Los punts de contacte son nomenats punts de Feuerbach.

Simedianas e punt de Lemoine

Una simediana es una drecha simetrica de la mediana al repècte a una bissectritz eissida del quita vertèx. Las tres simedianas son concorentas en un punt nomenat punt de Lemoine.

Punt de Fermat

Dins un triangle acutangle, existís un unic punt que minimisa la soma de las distàncias als vertèxes. Dins aquel punt, nomenat punt de Fermat, los angles formats pels segments cap al vertèxes del triangle son totes de 120°.

Punts, drecha e cercle de Brocard

Punts de Brocard

Se un triangle es non plat, existís dos punts nomenats punts de Brocard per quines los segments cap als vertèxes subdivisan lo triangle en tres triangles avent un angle de meteissa mesura per permutacion dels vertèxes del triangle inicial. La mesura d'aquel angle es alara la meteissa pels dos punts.

La drecha de Brocard es la drecha que passa per aqueles dos punts.

Los punts de Brocard apartenon al cercle de Brocard qu'un diamètre a per tèrmes lo centre del cercle circonscrich e lo punt de Lemoine.

Segon lo teorèma d'Alasia, la drecha de Brocard es parallèla a un dels costats se e pas que se lo triangle es isocèl amb aquel costat per basa.

Ellipsa de Steiner

Dins un triangle non plat, existís una unica ellipsa tangenta a cada costat en son mitan.

Autres resultats

Lo teorèma de Talés liga las longors de costats de dos triangles semblables avent un vertèx comun e los costats oposats parallèls.

Lo teorèma de Napoleon afirma que los centres dels triangles equilaterals formats exteriorament suls costats d'un triangle son quitament los vertèxes d'un triangle equilateral.

Lo teorèma de Carnot liga los rais dels cercles inscrich e circonscrich a las distàncias dels vertèxes al centre del cercle circonscrich.

Lo teorèma de Menelaús dona une condicion necessària e sufisenta per l'alinhament de tres punts alinhats respectivament amb los costats d'un triangle.

Lo teorèma de Morley afirma que las interseccions de las trissectriças dels angles d'un triangle forman un triangle equilateral.

Lo teorèma de Nagel mòstra que la bissectritz d'un angle d'un triangle es la meteissa qu'aquela de l'angle dins aquel vertèx que los costats passan per l'ortocentre e lo centre del cercle circonscrich.

Lo teorèma de Neuberg establís que los centres de tres carrats obtenguts per una construccion geometrica particulièra sus un triangle que los mitans dels costats d'aquel triangle.

Lo teorèma d'Hamilton dich que lo cercle d'Euler es lo meteis pels quatre triangles formats par un grope ortocentric.

Lo teorèma d'Euler en geometria exprima la distància $d$ entre los centres dels cercles inscrich e circonscrich en foncion de lors rais respectius $r$ e $R$ per $d^{2}=R(R-2r)$. Se deduís que lo rai del cercle inscrich es al mens dos còps mai pichon qu'aquel del cercle circonscrich (inegalitat d'Euler).

Amb de cevianas

Lo teorèma de Ceva dona una condicion necessària e sufisenta per que tres drechas (nomenadas cevianas) passant respectivament pels tres vertèxes d'un triangle sián parallèlas o concorentas.

Lo teorèma de Gergonne dona alara una relacion entre las longors de las cevianas e las longors dels segments que ligan lor pint d'interseccion als vertèxes.

Lo teorèma de Stewart liga la longor d'una ceviana a las longors dels costats dels dos triangles que forma.

Lo teorèma de Terquem mòstra que lo cercle pedal, circonscrich al triangle pedal format pels tres pés de cevianas concorentas, copa los costats del triangle en tres punts que son tanben los pés de cevianas concorentas.

Amb de cercles

Lo teorèma dels sièis cercles mòstra qu'una seguida de cercles successivament tangents exteriorament e tangents interiorament a dos costats d'un triangle (los costats variant per permutacion circulara) es 6-periodic.

La recipròca del teorèma dels tres cercles de Miquel mòstra que tres cercles passant respectivament pels vertèxes d'un triangle e secants lo long dels costats correspondents son concorents en un punt nomenat punt de Miquel.

Generalizacions

Poligòns

Un quadrilatèr, amb sas diagonalas

Un triangle essent un poligòn de tres costats, qualques proprietats se generalizan per un mai grand nombre de costats, coma l'inegalitat triangulara o la soma dels angles (per un poligòn non crosat), mas l'aira e los angles dependent pas mai que de las longors dels costats. I a tanben mens de resultats valables en tota generalitat sus las drechas o punts remarcables. Pasmens, qualques condicions permeton de'n tornar trobar coma dins le cas de quadrilatèrs particulièrs (parallelograms subretot) o inscriptibles dins un cercle.

En mai granda dimension

Un tetraèdre

Dins l'espaci, tres punts son totjorn coplanaires e sufison doncas pas per definir un element de volum. Mas quatre punts non coplanaires forman un tetraèdre. Mai generalament, un simplèx es une figura geometrica convèxe eissit de n punts dins un espaci d'al mens n−1 dimensions.

Istòria

Problèmas R49→R55 del papyrus Rhind

figura del triangle representada dins lo problèma R51 del papyrus Rhind

Cap de document matematic de l'Ancian Empèri nos es conegut. Mas l'arquitectura monumentala de las dinastias egipsiana III e IV constituís una pròba remarcable que los egipcians d'aquela epòca avián de coneissenças relativament elaboradas en geométria, e subretot dins l'estudi dels triangles.

Lo calcul de l'aira d'aquela figura es estudiada dins los problèmas R51 del papirus Rhind, M4, M7 e M17 del papirus de Moscòu e datant totes del Empèri Mejan. Lo problèma R51 constituís, dins l'istòria mondiala de las matematicas, lo primièr testinòni escrich tractant del calcul de l'aira d'un triangle.

Enonciat del problèma R51 del papirus Rhind

«Exemple de calcul d'un triangle de tèrra. Se qualcun te ditz: Un triangle de 10 khet sus son mryt e de 4 khet sus sa basa. Quina es sa superfícia? Calcula la mitat de 4 qu'es 2 per ne far un rectangle. Fa de biais que multiplicar 10 per 2. Aquò es sa superfícia.»

Lo tèrme mryt significa benlèu nautor, o costat. Mas la formula utilizada pel calcul de l'aira fa penjar l'interpretacion en favor de la premièra solucion. L'escriba prengava la mitat de la basa del triangle e calculava l'aira del rectangle format per aquel costat e la nautor, siá

$A={\frac {base}{2}}{mryt}$

equivalenta a la formula generala utilizada ara:

$S={\frac {ah}{2}}$

Lo fach qu'un triangle de costats 3-4-5 es rectangle èra tanben conegut dels Egipcians ancians e mesopotamians.

Euclides, dins lo libre I de sos Elements, vèrs 300 AbC, enoncia la proprietat sus la soma dels angles del triangle e los tres casses d'egalitat dels triangles (vejatz çò naut lo paragrafe suls triangles isometrics).

Articles connèxes

• Resolucion d'un triangle
• Triangle de Pascal
• Triangle de Penrose
• Triangle de Sierpinski
• Triangle de Kobon
• Simbolica dem triangle
• Triangle (caractèr)

Bibliografia

• (en)Arnold Buffum Chace, The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations; vol II; 1927-1929
• (en)Marshall Clagett, Ancient Egyptian Science, A Source Book, vol 3, Ancient Egyptian Mathematics; ed American Philosophical Society; 1999}}