Equacion del segond gra

En matematicas, una equacion del segond gra, o equacion quadratica, es una equacion polinomiala de gra 2, es e dire que pòt s'escriure sota la forma:

$ax^{2}+bx+c=0$

ont x es l'inconeguda e las letras a, b e c representon los coeficients, amb a diferent de 0.

Dins l'ensemble dels nombres reals, una tala equacion admet al maxi doas solucions, que correspondon a las abscissis dels eventuals punts d'interseccion de la parabòla d'equacion $y=ax^{2}+bx+c$ amb l'axe de las abscissis dins lo plan dotat d'una marca afina. La posicion d'aquesta parabòla al respècte de l'axe de las abscissis, e donc lo nombre de solucions (0, 1 o 2) es donada pel signe del discriminant. Aqueste darrièr permet tanben d'exprimir aisidament las solucions, que son tanben las raiças de la foncion del segond gra associada.

Sul còrs dels nombres complèxes, una equacion del segon gra a sepmre exactament doas raiças destriadas o una raíç dobla. Dins l'algèbra dels quaternionns, una equacion del segond gra pòt aver una infinitat de solucions.

Istorica

Las equacions del segond gra son al centre de l'algèbra babiloniana, a depuèi lo sègle XVIII AbC. La tauleta d'argila BM 13901 foguèt qualificada « verai pichon manual d'algèbra, consacrat a l'equacion del segond gra e als sistèmas d'equacions, e donant las proceduras resolutòrias fondamentalas ».

Al sègle VIII, lo matematician indian Sridhar Acharya indica lo biais de calcular las doas raiças realas.

Las equacions del segond gra foguèron estudiadas sistematicament per Al-Khwarizmi al sègle IX, dins un obratge titulat Abreujat del calcul per la restauracion e la comparason que, mejans lo mot « restauracion » (en arabi: al-jabr) donèt son nom a l'algèbra. Al-Khawarizmi destria sièis cas d'equacions del primièr o segond gra ont los paramètres $a$, $b$ e $c$ son totes positius:

1. las carrats egalan las raiças: $ax^{2}=bx~;$
2. las carrats egalan los nombres : $ax^{2}=c~;$
3. las raiças egalan los nombres: $bx=c~;$
4. los carrats e las raiças egalan los nombres : $ax^{2}+bx=c~;$
5. los carrats e los nombres egalan las raiças: $ax^{2}+c=bx~;$
6. las raiças e los nombres egalan los carrart: $bx+c=ax^{2}.$

Mòstra los metòdes de resolucion seguent los rasonaments d'algèbra geomrtrica.

Elements clau

Introduccion per l'exemple

se cerca las eventualas solucions de l'equacion venenta:

$x^{2}-x-1=0.$

Lo membre d'esquèrra es nomenat trinòmi del segond gra. Es compausat de trrs tèrmes, totes de la mèsma forma: un nombre non nul que multiplica una poténcia entièra de x. Cada tèrme es nomenat monòmi e, n'i a tres, se parla de trinòmi. La mai granda poténcia d'aquestes monòmis es dos; per aquesta rason, se parla de segond gra. L'expression 0x² + x + 1 es pas un trinòmi: x + 1, es un binòmi del primièr gra. Lo metòde consistís a forçar l'aparicion d'una primièra identitat remarcabla. S'escrich lo polinòmi del biais seguent:

$x^{2}-x-1=x^{2}-2\cdot {\frac {1}{2}}\cdot x+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}-1.$

Los tres primièrs tèrmes son aquestes d'una soma remarcabla. L'aplicacion d'una identitat remarcabla permet d'escriure lo polinòmi del biais seguent:

$x^{2}-x-1=\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{4}}.$

Se pòt alara aplicar a aquesta diferéncia de carrats una segonda identitat remarcabla:

$x^{2}-x-1=\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{2}=\left(x-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)\left(x-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right).$

L'equacion iniciala s'exprimís alara jos forma d'un produch de dos factors:

$\left(x-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)\left(x-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)=0.$

Un produch de dos factors es nul se, e solament se, un dels factors es nul. Aquesta remarca permet de trobar las doas solucions x₁ e x₂ :

$x_{1}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\quad x_{2}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$

Aquesta equacion admet pas qu'una unica raiç positiva x₁, aquesta valor es nomenada nombre d'aur. Es tanben possible de resòlvre una equacion du segond gra sens la mendre coneissença d'algèbra, lo paragraf metòde grometric mòstra cossí far.

Discriminant

Se considèra l'equacion seguenta, ont a, b e c designan de nombres reals e a es diferent de 0:

$ax^{2}+bx+c=0.$

Se pausa la definicion seguenta: Definicion del discriminant — Lo discriminant de l'equacion es la valor Δ definida per :

$\Delta =b^{2}-4ac.$

Aquò es a vegada tanben nomenat realizant notat $\rho$.

Aquesta definicion es la font del teorèma associat a la resolucion de l'equacion del segond gra, dins lo cas ont se cerca de solucions realas:

Resolucion de l'equacion — Se lo discriminant es estrictament positiu, l'equacion admet doas solucions x1 e x2 donadas per las formulas seguentas : $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.$ Se lo discriminant es nul, l'equacion admet una raiça dobla:$ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}\quad {\text{et}}\quad x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}.$

Se lo discriminant es estrictament negatiu, l'equacion admet pas de solucion reala, mas admet doas solucions complèxas.

Interpretacion grafica

Lo signe del discriminant balha una informacion sul grafe de la foncion f.

Un biais d'estudiar l'equacion del paragrafe precedent es de considerar la foncion f de la variabla reala e a valors realas definida per:

$f(x)=ax^{2}+bx+c.$

L'equacion pòt encara s'escriure f(x) = 0. Las solucions de l'equacion son las abscissis dels punts d'interseccion del grafe de la foncion f e de l'axe dels x. Lo grafe de la foncion f es nomenat una parabòla, possedís una forma analòga a aquesta dels tres exemples presentats a drecha. Se a es positiu, las brancas de la parabòla son dirigidas cap al naut, coma pels exemples jaunes o blaus, senon las brancas son dirigidas cap al bas, coma l'exemple roge.

Se le discriminant es estrictament positiu, coma per l'exemple blau, aquò significa que lo graf de f crosa l'axe de las abscissis en dos punts. Se lo discriminant es nul, la configuracion es aquesta de la parabòla roja, lo graf se situa o dins lo semiplan de las ordonadas positivas o dins lo semiplan de las ordonadas negativas e son unic extremum es sur l'axe de las abscissis. Dins lo cas d'un discriminant estrictament negatiu, coma per la paraòla jauna, lo grafe se situa encara dins un del dos semiplans precedents, mas aqueste còp l'extremum encontra pas l'axe de las abscissis.

Atal, se lo discriminant es estrictament positiu, lo signe de las valors que pren la foncion f entre las solucions es l'opausat del signe de las valors presas per f a l'exterior del segment d'extremitats las solucions de l'equacion.

Resolucion dins l'ensemble dels reals

Forma canonica

En vista de resòlvre l'equacion f(x) = 0, ont f es la foncion del paragraf precedent, un metòde consistís a l'escriure jos una forma mai adaptada. Coma la valor a es pas nula, es ja possible de la factorizar :

$f(x)=ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right).$

La metòde utilizada per la resolucion del primièr exemple s'aplica encara. Ne ven a « forçar » l'aparicion d’una identitat remarcabla de la forma

$\left(A+B\right)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}{\text{ avec }}A=x{\text{ et }}B={\frac {b}{2a}}$

en apondant e en levant B² :

$f(x)=a\left(x^{2}+2x\left({\frac {b}{2a}}\right)+\left(\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)_{\color {red}\nwarrow =0}+{\frac {c}{a}}\right)=a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right).$

Aquesta forma es a l'origina d'una proprietat e d'una definicion:Definicion de la forma canonica — L'equacion del segond gra pòt s'escriure jos la forma seguenta, dicha canonica, Δ designant :

$f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )^{2}+\beta =0\quad {\text{avec}}\quad \alpha ={\frac {-b}{2a}},et\;\beta =f(\alpha )=-{\frac {\Delta }{4a}}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.$

De notar que $\beta$ representa l'extremum (maxim o minim) de la foncion $f(x)$, e qu"aqueste extremum s"atenh per $x=\alpha$ :          - Se $a>0$ la foncion $f(x)$ es descreissenta puèi creissenta (foncion en U) e $\beta$ es donc lo minim de la foncion.          - Se $a<0$ la fonccion $f(x)$ es creissanta puèi descreissenta (foncion en campana) e $\beta$ es donc lo maxim de la foncion.

Dins los dos cas, las coordonadas de l'extremum son donc $M\left({\frac {-b}{2a}};c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)$

Exemples

Consideram l'equation seguenta :

$f(x)=0\quad {\text{avec}}\quad f(x)=x^{2}-4x+4.$

Dos metòdes permeton de trobar l'expression de la forma canonica. Peimièr, f es definida per una identitat remarcable; se'n deduch:

$f(x)=(x-2)^{2}.$

Es tanben possible d'utilizar las formulas de la definicion, i a aquí a = 1, b = –4 e c = 4. Se'n deduch que lo discriminant Δ es nul e que lo coeficient α es egal a 2, çò que dona encara lo resultat precedent. Consideram ara lo novèl exemple :

$g(x)=0\quad {\text{avec}}\quad g(x)=2x^{2}-6x+1.$

Se l'egalitat definissent g(x) es pas pus una identitat remarcabla, lo segond metòde es sempre eficaç. Avèm a = 2, b = –6 e c = 1. Çò que permet de realizar los calculs suivants :

$\alpha =-{\frac {b}{2a}}={\frac {6}{4}}={\frac {3}{2}},\quad \beta =g(\alpha )=g\left({\frac {3}{2}}\right)=2{\frac {9}{4}}-6{\frac {3}{2}}+1={\frac {9}{2}}-{\frac {18}{2}}+{\frac {2}{2}}=-{\frac {7}{2}}.$

Se'n deduch la forma canonica:

$g(x)=2\left(x-{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {7}{2}}.$

Lo graf de la foncion $g(x)$ es donc en forma de U e admet un minim al punt $M\left({\frac {3}{2}};-{\frac {7}{2}}\right)$

Resolucion de l'equacion f(x) = 0

La resolucion de l'equacion $f(x)=0$ utiliza la forma canonica:

Discriminant estrictament negatiu

Se lo discriminant es estrictament negatiu, la valor β/a = -Δ/(4a²) es estrictament positiva. La foncion f s'exprimís coma lo produch de a (non nul) e de la soma d'un tèrme positiu (x - α)² e d'un tèrme estrictament positiu β/a (soma qu'es donc estrictament positiva, donc non nula) : f(x) = a × [(x - α)² + β/a]. Se'n deduch que, quina que siá la valor de x, son imatge per f es pas jamai nula, que produch de dos factors non nuls, çò que mòstra l'abséncia de solucion dins l'ensemble dels reals (R).

Se pòt tamben trobar doas solucions se plaçant dins l'ensemble dels nombres complèxes.

Discriminant nul

Se le discriminant es nul, lo tèrme β tanben l'es e f(x) = a.(x - α)². Aquesta expression es nula se, e seulament se x es egal a α. Un còp encara, se torna trobar lo resultat exprimit dins lo segon paragraf.

Discriminant estrictament positiu

Se lo discriminant es estrictament positiu, en simplificant per a, l'equacion s'escriu encara, se δ designa la raiç carrada del discriminant :

$(x-\alpha )^{2}-\left({\frac {\delta }{2a}}\right)^{2}=0\quad {\text{avec}}\quad \delta ={\sqrt {b^{2}-4ac}}.$

Se reconeis una identitat remarcabla e l'equacion s'escriu encara:

$\left(x-\alpha +{\frac {\delta }{2a}}\right)\left(x-\alpha -{\frac {\delta }{2a}}\right)=0.$

Un produch de dos nombres reals es nul se, e solament se, un dels dos factors del produch es nul, se'n deduch que l'equacion es equivalenta a una de las doas equacions:

$x-\alpha -{\frac {\delta }{2a}}=0\quad {\text{ou}}\quad x-\alpha +{\frac {\delta }{2a}}=0.$

En remplaçant α e δ per lor valor, se trapa plan l'expressionja indicada de las doas solucions.

Proprietats

Forma reducha

Una equacion del segond gra apareis pas sempre jos la forma estudiada fins ara. Consideram l'exemple:

$(x+2)^{3}-(x-1)^{3}=0.$

Un analisi tròp rapid poiriá daissar pensar que los metòdes presentadas aquí son pas adaptadas per una tala equacion. Per lo verificar, lo mai simple es de desvelopar lo tèrme d'esquèrra. S'obten, mejans doas identitats remarcablas:

$(x+2)^{3}-(x-1)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8-(x^{3}-3x^{2}+3x-1)=9x^{2}+9x+9.$

L'equacion ven alara:

$9x^{2}+9x+9=0.$

Simplificant encara per 9, l'equacion s'escriu: x² + x + 1 = 0. Lo discriminant essent agal a –3, l'equacion admet pas de raiç reala. Per poder aplicar las tecnicas desvelopadas aquí, es util d'exprimir l'equacion jos la forma estudiada fins ara. Aquesta forma pòrte un nom. la forma reducha — La forma reducha d'una equacion del segond gra reala, es la seguenta, se a, b e c son tres nombres reals tal que a siá diferent de 0 :

ax^{2}+bx+c=0.

Existís tres formas importantas per exprimir una equacion del segond gra, la forma reducha, la forma canonica e, eventualament la forma factorizada, que s'escriu del biais seguent:

$a(x-x_{1})(x-x_{2})=0.$

Jos la forma factorizada, las solucions son dirèctament disponibles. Son tanben egalas a x₁ e x₂.

Relacions entre coeficient e racinas

Se las solucions, encara nomenada raiças, existissent, quina que sián distinctas o doblas, i a dos biais diferents de notar lo polinòmi, la forma factorizada e aquesta reducha. Amb las notacions de l'article, s'obten se x₁ e x₂ son los dos raiças:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).$

Un desvelopament de la forma de drecha permet d'obtenir una novèla expression de la forma reducha:

$ax^{2}+bx+c=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}.$

En identificant los coeficients, se'n deduch de relacions entre los coeficients de l'equacion e sas solucions:Relacions entre coeficients e raiças — Avèm doas relacions seguentas:$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\quad {\text{et}}\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

Las egalitats d'aquesta natura se generalizan per las equacions definidas per un polinòmi de gra qui que siá. Tal est l'obècte de l'article detalhat.

Discriminant reduch

A vegadas, los coeficients a, b e c son de nombres entièrs e b es par. Dins aqueste cas, un factor 2 apareis a l'encòp al numerator e al denominator. Se se definit b' coma l'entièr verificant l'egalitat b = 2.b' , se simplifica los calculs :

Definicion del discriminant reduch|Lo discriminant reduch es la valor Δ' definida per:

$\Delta '=b'^{2}-ac.$

Lo discriminant es egal a quatre còp lo discriminant reduch qu'es donc de mèsme signe que le discriminant. En consequéncia, se lo discriminant reduch es estrictament positiu, existís doas solucions destriadas, s'es nul las doas solucions son confondudas e s'es estrictament negatiu pas cap de solucion reala existís. Dins lp cas ont lo discriminant es positiu, las doas raiças x₁ e x₂ s'exprimisson, mejans lo discriminant reduch per las egalitats:

$x_{1}={\frac {-b'+{\sqrt {\Delta '}}}{a}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {-b'-{\sqrt {\Delta '}}}{a}}.$

Lo calcul presentada aquí es exacte, de biais independent del fach que a, b e c sián entièrs. Se l'expression de b' es simpla, pòt èsser util de far usatge del discriminant reduch, puslèu que del discriminant. Consideram l'equacion seguenta:

${\sqrt {5}}x^{2}-6x+{\sqrt {5}}=0.$

Lo discriminant reduch es un pauc mai simple a calcular que lo discriminant: es egal a 9 - (√5)² donc a 4. Se trapa, amb las formulas precedentas:

$x_{1}={\frac {3+2}{\sqrt {5}}}={\sqrt {5}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {3-2}{\sqrt {5}}}={\frac {\sqrt {5}}{5}}.$

Autres metòdes de resolucion

Raiças evidentas

Las relacions entre los coeficients e raiças permeton a vegada una acceleracion dins la resolucion. Consideram l'equacion precedenta, lo tèrme √5 jòga un ròtle singular. Es assajant de calcular son imatge pel polinòmi definissent l'equacion. Una solucion trobada a l'ajda d'aqueste metòde, es a dire consistissent a causir una valor « a l'azard » e a verificar que son imatge pel polinòmi es nula es nomenada raiç evidenta.

Un còp la primièra solucion coneguda, las relacions entre coeficients e raiças permeton aisidament de trobar la segonda. Dins l'exemple prepausat, o mai simple es de remarcar que lo produch de las raiças, egal a c/a es aquí egal a 1. La segonda raiç es donc 1/√5.

Lo metòde de la raiç evidenta permet de resòlvre simplament una equacion de gra mai naut, coma l'exemple seguent :

$x^{3}-5x-2=0.$

Mai d'un metòdes son possibles per n'acabar. Aquesta de Cardan possedís l'avantatge d'èsser segur, mas demanda una mestresa dels nombres complèxes e impausa de longs calculs. Lo metòde de las raiças evidentas es fòrça mai rapida. S'assag tradicionalament las valors 0, ±1 e ±2. Dins lo cas present, –2 es una raiç. Aquò significa que le polinòmi x + 2 divisa aqueste definissent l'equation. Trobar lo segon factor es pas tròp malaisit. Es un polinòmi del segond gra, que sol un polinòmi del segond gra, multiplicat per (x + 2) es del tresen gra. Se ax² + bx + c es lo segon factor, se calcula lo produch:

$(x+2)(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+(2a+b)x^{2}+(2b+c)x+2c=x^{3}-5x-2.$

Se'n deduch a = 1, c = –1 puèi b = –2. Demora encor a resòlvre l'equacion :

$x^{2}-2x-1=0.$

Per una redaccion mai concisa, se pòt encara pretendre que 1 + √2 es una raiç evidenta. Coma la soma de las raiças del polinòmi del segond gra es egala a 2, la segonda raiç es egala a 1 – √2.

Metòde geometric

Resolucion de l'equacion $x^{2}+10x=39$mejans un gnomòn.

Los primièrs metòdes per resòlvre una equacion del segond gra son geometrics. Quitament sens coneisser los rudiments d'algèbra, es possible de resòlvre d'equacions del segond gra. Los Grècs utilizavan lo metòde seguent, per resòlvre çò qu'en lengatge contemporanèu se formalizariá per l'equacion:

$x^{2}+10x=39.$

Se considèra que los dos tèrmes, de drecha e d'esquèrra designan de superfícias. Lo tèrme x² designa l'airal d'un carrat de costat x e 10.x designa l'aire de dos rectangles de costats 5 e x. S'organiza lo carrat e los dos rectangles del biais indicat sus la figura de drecha, los dos rectangles son dessenaht en gris e lo carrat correspond al mai pichon dels dos e contenent lo simbòl x² en son centre. Aquesta superfícia, que se nomena un gnomòn pren la forma d'un carrat se d'i apond un autre carrat de costat 5, que s'obten alara un carrat mai vaste, contenent a l'encòp los dos rectangles e lo carrat de costat x. Lo carrat de costat x e los dos rectangles possedisson un airal de 39, s'apondèt un carrat d'airal 25, s'obten un grand carrat d'airal 64. En tèrmes algebrics, aquesta consideracion grafica s'escriu:

$x^{2}+10x+25=64.$

Lo grand carrat es d'airal 64, son costa es de logor 8. E aqueste costat es, per construccion, egal a 5 + x. En tèrmes algebrics, aquò sgnifica aplicar una identitat remarcabla, s'obten:

$(x+5)^{2}=64.$

Se'n deduch la solucion x = 3. L'algèbra prepausa tanben una autra solucion : –13. Pels Grècs, aquesta autra solucion a pas cap de sens, x representa lo costat d'un carrat, es a dire una longor. E una longor es sempre positiva.

D'autras solucions geometricas son prepausadas dins los articles Inconeguda (matematicas) e Nombre d'aur.

Per las relacions entre coeficients e raiças

Un autre metòde, amb de relacions entre los coeficients e las raiças, permet de trobar las solutions. Se supausa que l'equacion admet un discriminant positiu e se nòta s la soma de las solucions e p lor produit. Divisant l'equacion pel factor a, qu'es pas nul per definicion, s'obten l'expression:

$x^{2}-sx+p=0.$

Siá m la valor mejana de las doas solucions, es a dire l'abscissi de l'extremum de la parabòla. Se h es la semidistància entre las solucions e se x₁ e x₂ designan las doas raiças, s'obten las egalitats:

$x_{1}=m+h\quad {\text{et}}\quad x_{2}=m-h.$

La soma de las doas raiças es egala a s e tanben a 2.m, çò que dona la valor de m = s/2. Lo produch de las doas raiças e una identitat remarcabla mostran que m² – h² = p. Un autre biais d'escriure aquesta egalitat es h² = m² – p. Coma lo discriminant es positiu per ipotèsi, lo tèrme de drecha es positiu. S'obten h, puèi las valors de las raiças:

$x_{1}={\frac {s+{\sqrt {s^{2}-4p}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {s-{\sqrt {s^{2}-4p}}}{2}}.$

Remplaçant s e p per lors valors, calculadas mejan de relacions entre los coeficients e las raiças, se trapa las formulas classicas.

Los punts (x₁ , 0) , (x₂ , 0) , (0 , 1/a) , (0 , c) e (-b/a , c) son cociclics sus un cercle avent per diamètre los punts (0 , 1/a) e (-b/a , c)

Cercle passant per las raiças de l'equacion del segond gra.

Resolucion dins l'ensemble dels nombres complèxes

Quand lo discriminant de l'equacion del segond gra es negatiu, aquesta possedís pas de solucion dins l'ensemble dels reals, qu'es pas possible de prene la raiç carrada d'un nombre negatiu. Mas dins un ensemble especialament bastit per çò far, l'ensemble dels nombres complèxes, existís de nombres que lo carrat es negatiu. L'equacion del segon gra ten de coeficients reals i admet alara sempre de solucions. Lo resultat se generaliza a las equacions del segond gra que los coeficients son complèxes.

Coeficients reals e discriminant estrictament negatiu

Exemple

Considram l'equacion seguenta:

$x^{2}+x+1=0.$

Jos sa forma canonica, l'equacion s'escriu:

$x^{2}+2{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}=\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}=0.$

La partida esquèrra de l'equacion es la soma de dos carrats, que l'un es estrictament positiu, donc pòt pas existir de solucion dins los nombres reals. Un autre biais de'n prene consciéncia es de calcular lo discriminant, aquí egal a –3. Se i designa l'unitat imaginària, es possible d'escriure 3/4 coma l'opausat d'un carrat, aqueste usatge lèva l'impossibilitat, l'equacion s'escriu:

$\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {\rm {{i}{\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}=0.$

Las identitats remarcablas s'aplican que siá dins C, lo còrs dels nombres complèxes, o dins R aqueste dels nombres reals, coma dins tot anèl comutatiu. Se'n deduch una novèla escritura de l'equacion, que la diferéncia entre dos carrats es factorizabla:

$\left(x+{\frac {1}{2}}+{\frac {\rm {{i}{\sqrt {3}}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1}{2}}-{\frac {\rm {{i}{\sqrt {3}}}}{2}}\right)=0.$

Çò que permet de'n deduire las doas solucions :

$x_{1}={\frac {-1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {-1-{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}.$

Las doas solucions son dichas conjugadas es a dire que lors partidas realas son egalas e lors partidas imaginàrias opausadas. Aquesta proprietat es veraia pas que dins lo cas d'una equacion quadratica de coeficients reals.

Cas general

Lo metòde utilizat per l'exemple s'aplica del mèsme biais pel cas general, se los coeficients son reals e lo discriminant estrictament negatiu. L'equacion s'escriu jos sa forma canonica:

$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {\rm {{i}{\sqrt {|\Delta |}}}}{2a}}\right)^{2}\right)=0.$

Los simbols |Δ| designan la valor absoluda del discriminant. S'obten lo resultat seguent:Coeficients reals e discriminant negatiu — Se lo discriminant es estrictament negatiu, l'equacion admet doas solucions conjugadas x1 e x2, que s'escrivon:$x_{1}={\frac {-b+{\rm {i}}{\sqrt {|\Delta |}}}{2a}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\rm {i}}{\sqrt {|\Delta |}}}{2a}}.$

Equacion z² = α

Resòlvre l'equacion z² = α ne ven a determinar les raiças carradas del nombre complèxe α, siá de nombres complèxes β coma β² = α. Clarament, se β es solucion son opausat -β tanben.

Se nota z = x + iy, α = a + ib e |α| designa lo modul de α. L'equacion s'escriu encara:

$z^{2}=(x+{\rm {i}}y)^{2}=(x^{2}-y^{2})+{\rm {i}}2xy=a+{\rm {i}}b\quad {\text{et}}\quad x^{2}-y^{2}=a,\;2xy=b.$

Lo carrat del modul de z es egal al modul de α, se'n deduch:

$x^{2}-y^{2}=a,\;x^{2}+y^{2}=|\alpha |={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\quad {\text{donc}}\quad x=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}(a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})}},\quad y=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}(-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})}}.$

L'egalitat 2xy = b permet de levar las valors autras que β e -β, ont β es definida per, se ε designa lo signe de b.

$\beta ={\sqrt {{\frac {1}{2}}(a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})}}+\varepsilon {\rm {i}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}(-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})}}.$

Un rapid calcul mòstra que β verifica β² = α, e β et -β son donc plan las solas raiças carradas de α.

La determinacion d'una raiç carrada d'un nombre complèxe es utila per resòlvre lo cas general de l'equacion del segond gra a de coeficients complèxes tractada al paragraf seguent.

Equacion del segond gra de coeficients complèxes (cas general)

Se supausa ara que a, b e c son tres nombres complèxes tal que a siá non nul. Es sempre possible d'escriure l'equacion de l'article jos la forma canonica,que las transformacions utilizadas son tan valablas suls nombres complèxes. Simplificant per a, l'equacion es equivalenta a:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}=0\quad {\text{avec}}\quad \Delta =b^{2}-4ac.$

Siá δ una raiç carrada del discriminant (lo paragraf precedent mòstra qu'existís una tala valor e cossí la determinar). L'equacion se resòlv alara coma dins lo cas real, es a dire que s'escriu:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {\delta }{2a}}\right)^{2}=0\quad {\text{avec}}\quad \delta ^{2}=\Delta$

L'identitat remarcable tractant de la diferéncia de dos carrats permet encara d'escriure dins l'ensemble dels nombres complèxes:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}+{\frac {\delta }{2a}}\right)\left(x+{\frac {b}{2a}}-{\frac {\delta }{2a}}\right)=0.$

Çò que permet d'enonciar le resultat :Cas dels coeficients complèxes — Una equacion del segond gra amb de coeficients dins los nombres complèxes admet doas solucions z1 e z2. Se lo discriminant es nul, ambedoas solucions son confondudas. Dins lo cas general, las solucions s'escrivon:https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d6ebfe0e4c7a578c28dc2bb764637763dd6bb7:

Remarca: Las solucions d'una equacion del segond gra amb de coeficients complèxes son mai sovent dos nombres complèxes que son pas conjugats, al contrari del cas d'una equacion del segond gra amb de coeficients reals que lo discriminant es estrictament negatiu.

Generalizacion amb d'autres còrs

Las formulas çai dejós (e lor demonstracion) demoran valablas se $a,b,c$ apartenon a un còrs comutatiu K de caracteristica diferenta de 2, prenent al besonh $\delta$ (raiç carrada de $\Delta$) dins una extension quadratica de K (coma se lo faguèt per $K=\mathbb {R}$ dins lo cas $\Delta <0$).

Exemples

Dins K = F₃ = ℤ/3ℤ (qu'es un còrs finit de caracteristica 3), sián :

• $a=b=c=1$. Alara, $\Delta =-3=0$ donc l'equacion $x^{2}+x+1=0$ a una solucion dobla dins F₃ : $x={\frac {-1\pm 0}{2}}=1$ ;
• $a=c=1$ et $b=0$. Alara, $\Delta =-4=-1$a pas de raiç carrada dins K, mas n'a una, $\delta$, dins lo còrs finit F₉ amb 9 elements. L'equacion $x^{2}+1=0$ donc pas de solucion dins F₃ mas sas doas solucions dins F₉ son ${\frac {0\pm \delta }{2}}=\mp \delta$.

Calcul numeric

Une mesa en informatica « simpleta » del metòde de resolucion pòt menar a de resultats de precision mediòcre dins unas escasenças.

Dins un ordinator, la precision dels nombres es limitada pel mòde de representacion. Quand s'utiliza la dobla precision segon la norma IEEE 754, la valor absoluda dels nombres es limita entre gaireben [10^–307 ; 10³⁰⁸].

Error d'arredondit

Quand Δ > 0, lo calcul de ${\dfrac {-b+\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ ont sgn(b) es lo signe de b, mena a calcular la diferéncia dels dos nombres √Δ e |b|. S'aqueste calcul se fa numericament, ne ven una pèrda de precision, subretot quand √Δ es plan pròche de |b|, es a dire quand 4ac es petit al respècte de b². Se dich alara algoritme de calcul numericament instable.

Michaël Baudin prepausa l'exemple seguent:

$\varepsilon x^{2}+(1/\varepsilon )x-\varepsilon .$

Quand ε (positiu) ten cap a 0, sèm plan dins lo cas ont Δ = 1/ε² + 4ε² ≈ 1/ε² = b². Lo comportament asimptotic dels raiças es

x₁ ≈ 1/ε²

x₂ ≈ ε²

mas l'error de troncatura dona d'errors importantas al respècte d'aquestas valors esperadas.

Press et coll. recomanda lo calcul de la valor intermediària

$q=-{\frac {b+\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\Delta }}}{2}}$

$x_{1}={\frac {q}{a}}{\text{ ; }}x_{2}={\frac {c}{q}}.$

Remarcam que coma lo coeficient b es réputat grand (al mens dabans ac), se pòt encora ganhar en precision en utilizant lo discriminant redusit:

$b'=b/2{\text{ ; }}\Delta '=b'^{2}-ac{\text{ ; }}q'=-(b'+\operatorname {sgn}(b'){\sqrt {\Delta '}})$

$x_{1}={\frac {q'}{a}}{\text{ ; }}x_{2}={\frac {c}{q'}}.$

Un biais equivalent consistís a calcula d'en primièr la raiç avent un signe efectiu « + »

$x_{1}={\dfrac {-b-\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\Delta }}}{2a}}$,

pròche de -b/a, e d'utilizar la proprietat sul produit dels raiças per determinar l'autra raiç mejans l'egalitat

$x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}.$

Aqueste novel algoritme es dich numericament estable, que pas cap d'error es amplificada per une de las estapas del calcul.

Despassament

Quand |b| pren de valors importantas, lo calcul de b², pel discriminant, risca de crear una error de despassament (si b² > 10³⁰⁸). Se pòt prene per exemple

$x^{2}+(1/\varepsilon )x+1.$

Quand ε (positiu) ten cap a 0, lo comportament asimptotic dels raiças es

x₁ ≈ –1/ε

x₂ ≈ –ε

Mas alara que la valor finala de x₁ es representabla (–10³⁰⁸ < –1/ε), lo calcul del discriminant provòca una error de despassament.

Aquí encara, i a interés d'utilizar lo discriminant redusit: b'² = b²/4, çò que redusís d'un factor quatre lo risc de despassament.

Se pòt enseguida factorizar de biais intelligent lo calcul del discriminant. Se |b' | es grand dabans |a| o dabans |c| (e non nul), se pòt escriure:

$\Delta '=b'^{2}\left(1-{\frac {ac}{b'^{2}}}\right)=b'^{2}\left(1-{\frac {a}{b'}}{\frac {c}{b'}}\right).$

Se definís alara

$e=1-{\frac {a}{b'}}{\frac {c}{b'}}$

que diminuís lo risc d'error de despassament, que o |a/b' | < 1, o |c/b' | < 1; puèi

${\sqrt {\Delta '}}=\pm |b'|{\sqrt {|e|}}$

e s'auça donc pas b' al carrat.

Se al contrari |c| > |b' | (non nul), se pòt alara escriure

$\Delta '=c\left(b'\cdot {\frac {b'}{c}}-a\right).$

Se definís alara

$e=b'\cdot {\frac {b'}{c}}-a$

que lo calcul diminuís lo risc d'error de despassament, que |b'/c| < 1, e

${\sqrt {\Delta '}}=\pm {\sqrt {|c|}}{\sqrt {|e|}}.$

Sensibilitat a las pichonas variacions

Quand se calcula las derivadas parcialas dels raiças al respècte dels coeficients de l'equacion (supausant a ≠ 0 e Δ ≥ 0) :

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial x_{1,2}}{\partial a}}=\ &{\frac {c}{a{\sqrt {\Delta }}}}+{\frac {b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a^{2}}}\\{\frac {\partial x_{1,2}}{\partial b}}=\ &{\frac {-1\pm b/{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\{\frac {\partial x_{1,2}}{\partial c}}=\ &\pm {\frac {1}{\sqrt {\Delta }}}\end{aligned}}\right.$

se vei que se a o Δ son pròches de 0, alara las derivadas parcialas son fòrça grandas, çò que significa qu'una pichona variacion suls coeficients provòca una granda variacion de la valor de las raiças. Dins de alas condicions, una pichona error de troncatura pòt provocar una granda error sul resultat.

Se lo discriminant es nul, tornam al mèsme problèma que quand a es pròche de zèro:

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial x_{1,2}}{\partial a}}=\ &{\frac {b}{2a^{2}}}\\{\frac {\partial x_{1,2}}{\partial b}}=\ &{\frac {-1}{2a}}\\{\frac {\partial x_{1,2}}{\partial c}}=\ &0.\end{aligned}}\right.$

Dins los dos cas, avèm un problèma dich « mal condicionat ».

Algoritme iteratiu

Un biais de passar los problèmas çai dessús consistís a utilizar un algoritme iteratiu, per exemple l'algoritme de Jenkins-Traud que permet d'obéner las raiças d'un polinòmi P quin que siá.

Quand se coneis la primièra raiç x₁, alara P pòt s'escriure

P(x) = (x – x₁)H

ont H es un polinòmi de gra inferior de 1 a P — dins lo cas present, avèm H(x) = a(x – x₂), veire la seccion Forma reducha. L'algoritme cerca aquesta primièra raiç utilizant una seguida de polinòmis (H_i) aprochant H. Aquesta seguida es bastida de biais recursiu:

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {H} _{0}(x)=\ &\mathrm {P} '(0)\\(x-s_{i})\cdot \mathrm {H} _{i+1}(x)\equiv \ &\mathrm {H} _{i}(x)\mod (\mathrm {P} (x))\end{aligned}}\right.$

ont (s_i) es una seguida de nombres.

La primièra estapa consistís a calcular los cini premièrs tèrmes, H₀ a H₄, amb una seguida nulla (s₀ = … = s₄ = 0). Aquò dona un òrdre de grandor de la raiç mai pichona e permet eventualament de normalizar los coeficients de l'equacion s'aquesta valor es tròp granda o tròp pichona. S'estalivam atal los problèmas de despassament o de sospassament.

La segonda estapa consistís a calcular los nòus primièrs tèrmes prenent una seguida unifòrma. S'agís d'una valor complèae que l'argument se pren a l'azard (φ = rand), e que l'afixe R es la solucion de l'equacion

R² + |b|R = c

que se pòt trobar de biais simple (per exemple amb lo metòde de Newton-Raphson), la foncion d'esquèrra essent monotòna e convèxa. Se pren donc

s = Re^iφ

e se lo metòde convergís pas, se causit un autre argument.

La tresena estapa consistís a calcular los tèrmes de rang superiors a 10 utilizant la rason:

$s_{i+1}=s_{i}+{\frac {\mathrm {P} (s_{i})}{{\overline {\mathrm {H} }}_{i}(s_{i})}}$

ont H es lo coeficient H normalizat, es a dire que sos coeficients son divisats pel coeficient del gra mai naut.

Aqueste algoritme presenta de similituds amb Newton-Raphson, los polinòmis H_i jogant lo ròtle de las derivadas.

Aqueste algoritme pòt èsser adaptat se los coeficients de l'equation son reals; es alara mai rapid e estable.

Nòtas e referéncias

Vejatz tanben

Article connèxe

• Forma quadratica

Bibliografia

• J. Merker, Du trinôme du second degré à la théorie de Galois, Presses universitaires de Franche-Comté (2007) ISBN: 2848672056
• Maurice Caveing, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l'Égypte anciennes, Presses Univ. Septentrion, 1994, 417 p. (ISBN 285939415X)
• Jens Høyrup, L'algèbre au temps de Babylone, Vuibert/Adapt, coll. « Inflexions », août 2010, 162 p. (ISBN 9782356560162)