Raiç carrada

En matematicas elementàrias, la raiç carrada d'un nombre real positiu x es l'unic real positiu que, quand se multiplica per se mèsme, dona x, es a dire lo nombre positiu que lo carrat val x. Se lo nòta √x o x^1/2. Dins aquesta expression, x es nomenat lo radicand e lo signe √ es nomenat le radical. La foncion que, per tot real positiu, associa sa raiç carrada se nomena la foncion raiç carrada.

La raiç carrada d’un nombre real positiu $x$ se nòta ${\sqrt {x}}$.

En algèbra e analisi, dins un anèl o un còrs A, se nomena raiç carrada de a, tot element de A que lo carrat val a. Per exemple, dins lo còrs dels complèxes ℂ, se dirà de i (o de − i) qu'es una raiç carrada de − 1. Segon la natura de l'anèl, e la valor de a, se pòt trobar 0, 1, 2 o mai de 2 raiças carradas de a.

De la recerca de la raiç carrada d'un nombre, o extraccion de la raiç carrada, ne sortís fòrça algoritmes. La natura de la raiç carrada d'un entièr natural qu'es pas lo carrat d'un entièr es a l'origina de la primièra presa de consciéncia de l'existéncia dels nombres irracionals. La recerca de raiças carradas per de nombres negatius menèt a l'invencion dels nombres complèxes.

Istòria

Fotografia de la tauleta YBC 7289 amb de nòtas tradusent los nombres escrichs dins lo sistèma babilonian (credits : Bill Casselman)

La mai anciana raiç carrada coneguda aparéis vèrs 1700 AbC. sus la tauleta YBC 7289. S'agís de la representacion d'un carrat amb, sus un costat, lo nombre 30 e, lo long de la diagonala, una valor aprochada de ${\sqrt {2}}$.

Construccion geometrica de la raiç carrada

AO = 1, OB = a, OH = ${\sqrt {a}}$

La construccion geometrica seguenta se realiza amb règla e  compàs e permet, donat un segment OB de longor a, e un segment de longor 1, de bastir un segment de longor ${\sqrt {a}}$ :

• Bastir lo segment [AB] de longor 1 + a e contenent lo punt O amb AO = 1
• Bastir l cercle c de diamètre [AB].
• Bastir la drecha d perpendiculara a (OB) e passant per O.
• Nomenar H lo punt d’interseccion del cercle c e de la drecha d.

Lo segment [OH] es de longor ${\sqrt {a}}$.

La pròva consistís a remarcar que los triangles OAH e OHB son triangles semblables, d'ont se deduch que $OH^{2}=AO\times OB=a$, e donc $OH={\sqrt {a}}$.

Aquesta construccion a son importança dins l’estudi dels nombres constructibles.

Foncion reala

Representacion grafica de la foncion raiç carrada.

L’aplicacion $x\mapsto x^{2}$ es una bijeccion de ℝ₊ sus ℝ₊ que la recipròca es notada $x\mapsto {\sqrt {x}}$. Aquesta foncion se nomena la foncion raiç carrada. Geometricament, ose pòt afirmar que la raiç carrada de l’airal d’un carrat del plan euclidian es la longor de l'un de sos costats.

Mèfi: l’airal s’exprimís dins lo sistèma universal en mètres carrats e las longors en mètres. Prenent la raiç carrada d’una quantitat exprimida en mètres carrats, s'obten una quantitat exprimida en mètres. Los fisicians donan una importança particulara a l’analisi de las unitats; aqueste aspècte es escafat en matematicas. Los nombres reals son de constantas sens unitat, e la raiç carrada d’un nombre real positiu es un nombre real positiu.

La foncion raiç carrada verifica las proprietats elementàrias seguentas valablas per totes nombres reals positius x e y:

${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$

${\sqrt {x\times y}}={\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}$

${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$ (jos la condicion $y>0$)

${\sqrt {x^{2}}}=|x|$.

• Es estrictament creissenta, coma recipròca d'una bijeccion creissenta sus ℝ₊.
• Es 1/2 - hölderiana donc de continuitat unifòrma.
• Es derivabla per tot real estrictament positiu $x$, mas es pas derivabla en $x=0$. Per aqueste punt, la corba representativa admet una semitangenta (geometria) verticala. Sa foncion derivada es donada per:

  ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sqrt {x}}={1 \over 2{\sqrt {x}}}$.

• Es classa $C^{\infty }$ sus ℝ₊*:$\forall n\in \mathbb {N} \quad {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\sqrt {x}}={(-1)}^{n+1}{(2n)! \over n!2^{2n}(2n-1)}{\frac {1}{x^{n-1/2}}}.$
• Son desvelopament en seriá de Taylor al punt 1 es donc, per tot real h tal que |h| ≤ 1:${\sqrt {1-h}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}h^{n}{\text{ amb }}a_{n}={(2n)! \over (n!)^{2}2^{2n}(2n-1)}>0,$amb convergéncia normala sus [–1, 1]. Los coeficients s'exprimisson coma quocients de nombre de Catalan per de poténcia de dos:$a_{n}={\frac {C_{n-1}}{2^{2n-1}}}.$Las primièras valors son $a_{1}={\frac {1}{2}},a_{2}={\frac {1}{8}},a_{3}={\frac {1}{16}},a_{4}={\frac {5}{128}}.$

Extraccion de raiças carradas

Lo calcul de la raiç carrada d'un nombre positiu es pas sempre evident, subretot per de grands nombres. Atal, diferents algoritmes se desvelopèron pendent de l'istòria per far venir lo nombre. D'entre los metòdes d'extraccion de raiç carrada, se pòt citar per exeple lo metóde de Héron, qu'es un metòde istoric que se pòt veire d'el vejaire modèrne coma un cas particular del metòde de Newton. D'autres metòdes son basats sus de seguidas adjacentas, sus de fraccions continuas o sus un principi de dicotomia.

Raiças carradas particularas

Nombre d'aur

Se p es un nombre real estrictament positiu,

${\sqrt {p+{\sqrt {p+{\sqrt {p+{\sqrt {p+\cdots }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {4p+1}}}{2}}$.

Per p = 1, s'obten lo nombre d'aur:

$\varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}$.

Nombres entièrs superiors a 1 jos forma de raiças carradas

Ramanujan descobriguèt las formulas seguentas :

${\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dots }}}}}}=3$ e ${\sqrt {6+2{\sqrt {7+3{\sqrt {8+\dots }}}}}}=4$.

Aquestas formulas se generalisan, çò que dona en particular, per tot real $n\geq 0$ :

$n+2={\sqrt {1+(n+1){\sqrt {1+(n+2){\sqrt {1+(n+3){\sqrt {\dots }}}}}}}}$ et $n+3={\sqrt {n+5+(n+1){\sqrt {n+6+(n+2){\sqrt {n+7+\dots }}}}}}$.

Pi

Lo nombre π s’exprimís jos la forma d’una iteracion infinida de raiças carradas:

$\pi =\lim _{k\to \infty }\left(2^{k}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}}\right)$ , ont k es lo nombre de raiças carradas emboitadas

O encara:

$\pi =\lim _{k\to \infty }\left(3\cdot 2^{k-1}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}}}}\right)$

(formulas que se demòstran per calcul trigonometric dirècte: lo tèrme de drecha de la primièra, per exemple, val $2^{k}\sin(\pi /2^{k})$).

Nocion algebrica generala

Definicion algebrica d'una raiç carrada

Sián x e a dos elements d’un anèl A, tals que x² = a. L'element x es alara una raiç carrada de a. La notacion ${\sqrt {a}}$ es pasmens sovent deconselhada que pòt existir mai d'un elements x.

Mai sovent (se l'anèl es pas intègre o s'es pas comutatiu), un element pòt aver mai de doas raiças carradas. Per exemple dins l'anèl Z/9Z, las raiças carradas de 0 son 0, 3 e -3, e dans lo còrs esquèrra de quaternions, tot real estrictament negatiu possedís una infinitat de raiças carradas.

Dins lo cas dels nombres reals, un autor parlant d'una raiç carrada de 2, tracta d'un dels dos elements ${\sqrt {2}}$ o alara −${\sqrt {2}}$. Pasmens, l'expression la raiç carrada de dos evòca sempre la solucion positiva. Coma l'expression ${\sqrt {2}}$ es sempre positiva e lo tèrme foncion raiç definís suls reals positius designa sempre la valor positiva, evitam aquesta confusion dins los ensenhaments un pauc elementaris de las matematicas ne fasent usatge pas que de l'expression: la raiç carrada, alara sempre positiva.

Raiças carradas de nombres complèxes

La raiç carrada sus ℝ es definida sonque pels nombres positius. Dins la resolucion efectiva de las equacions polinomialas, l’introduccion d’una raiç carrada formala d’un nombre negatiu dins los calculs intermediàrias dona de resultats exactes. Es tanben que le còrs dels nombres complèxes foguèt introducha. Per un nombre complèxe non nul quin que siá z=a+ib (amb a e b reals), existís exactament dos nombres complèxes w tals que w2 = z. Son opausats l'un de l'autre. Se b es non nul, son donadas per:

$w=\pm \left({\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}}+i\ \operatorname {signe} (b){\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}\right),amb\operatorname {signe} (b)={\frac {b}{|b|}}.$

Se b es nul e a es negatiu, aquesta formula se simplifica en :

$w=\pm i{\sqrt {|a|}}.$

Endacòm mai, se z es pas un real negatiu (i.e. se b es non nul o se a es positiu),

$w=\pm {\frac {z+|z|}{\sqrt {2(a+|z|}}}.$

Metòde de calcul de las raiças carrada w d'un nombre complèxe z=a+ib

Per trobar w=x+iy tal que w^{2}=a+ib , se pausa lo sistèma seguent:

${\begin{cases}w^{2}=z\\|w|^{2}=|z|\end{cases}}$

${\begin{cases}(x+iy)^{2}=a+ib\\x^{2}+y^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x^{2}-y^{2}+i2xy=a+ib\\x^{2}+y^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\end{cases}}$

Per identificacion de la partida reala e imaginària, s'obten:

${\begin{cases}x^{2}-y^{2}=a\\2xy=b\\x^{2}+y^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\end{cases}}$

Se'n deduch alara x^2 et y^2 apodent e sostrasent las primièra e tresenas equacions. Lo signe del produch xy es aqueste de b , d'ont la primièra expression dels dos parelhs de solucions per x e y . Mas un biais mens tradicional de resólvre aqueste sistèma es de far d'enprimièr sonque la soma (de las primièra e tresenas equations) :

$2x=\pm {\sqrt {2(a+|z|)}},$

çò que, se z es pas un real negatiu, mèna a la darrirèra formula.

Per de rasons de natura topologica, es impossible de perlongar la foncion raiç carrada, de ℝ₊ dins ℝ₊, dins una foncion continua $\scriptstyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ verificant $f(z)^{2}=z$.

Se nomena determinacion de la raiç carrada sus un dobèrt U de ℂ tota foncion continua $\scriptstyle f:U\rightarrow \mathbb {C}$ verificant $f(z)^{2}=z$.

La determinacion màger de la raiç carrada es la foncion de ℂ dins ℂ atal definida: se z s’escriu jos forma trigonometrica $z=re^{i\varphi }$ amb $\scriptstyle -\pi <\varphi \leq \pi$, alara se pausa $f(z)={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}$. Aquesta determinacion màger es continua en pas cap de punt de la semidrecha dels reals estrictament negatius, e es olomòrfa su son complementari.

Quand lo nombre es dins sa forma algebrica z=a+ib, aquesta definicion se traduchs per:

$f(a+ib)={\sqrt {\frac {\left|a+ib\right|+a}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|a+ib\right|-a}{2}}}$

ont lo signe de la partida imaginària de la raiç es

• se $b\neq 0$: lo signe de $b$
• se $b=0$ e $a<0$ : lo signe +
• se $b=0$ e $a\geq 0$: pas de signe (lo nombre es nul).

Notam qu’a causa de la natura discontinua de la determinacion màger de la raiç carrada dins lo plan complèxe, la relacion ${\sqrt {zz'}}={\sqrt {z}}{\sqrt {z'}}$ven falsa en general.

Raiças carradas de matriças e d’operators

Se A es una matritz autoadjunta positiva o un operator autoadjunt positiu en dimension finida, alara existís exactament una matritz autoadjunta positiva o un operator autoadjunt positiu B tal que B² = A. Se pausa alara: √A = B.

Mai generalament, per quina matritz normala que siá o quin que siá operator normal en dimension finida A, existís d'operators normals B tals que B² = A. Aquesta proprietat se generaliza a quin que siá operator bornat normal sus un espaci de Hilbert.

Mai sovent, i a mai d'un tals operatorsB per cada A e la foncion raiç carrada pòt pas èsser definida pels operators normals d’un biais satisfasenta (continua per exemple). Los operators positius son aparentats e de nombres reals positius, e los operators normals son aparentats a de nombres complèxes. Los articles sus la teoria dels operators desvelopan mai aquetes aspèctes.

Vejatz tanben

Bibliografia

• (en) David Eugene Smith, History of Mathematics, vol. 2
• (en) George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Modèl:2e éd., Penguin Books, London, 2000 ISBN: 0-691-00659-8 Modèl:Commentaire biblio