Bijeccion

En matematicas, una bijeccion o aplicacion bijectiva es una aplicacion qu'es au còp injectiva e subrejectiva.

En lengatge informau, una bijeccion d'un ensemble vèrs un autre es una correspondéncia a cha dos entre leis elements dau premier ensemble e aquelei dau segond, sens omission ni repeticion. Per exemple, lo pastre que fasiá una òsca sus un baston per cada bèstia de son aver establissiá (segon lo lengatge modèrne) una bijeccion entre l'ensemble deis òscas e l'ensemble de sei bèstias. Se vei donc que quand lei dos ensembles son finits, l'existéncia d'una bijeccion d'un vèrs l'autre equivau a l'egalitat dei nombres d'elements dei dos ensembles. En teoria deis ensembles, se generaliza ansin la nocion de nombre cardinau : se ditz que dos ensembles (finits o non) an lo meteis cardinau s'existís una bijeccion d'un vèrs l'autre (vejatz equipoténcia).

Definicions e premierei proprietats

Nocion de bijeccion

Estent dos ensembles X e Y, una aplicacion f : X → Y es dicha bijectiva se e solament se :

per tot element y dau codomeni Y, existís un element x unic dau domeni X tau que f(x) = y.

(l'unicitat de x per tot element y exprimís l'injectivitat de f, e l'existéncia de x exprimís la subrejectivitat)

Bijeccion recipròca

Estent una bijeccion f : X → Y, l'aplicacion de Y vèrs X qu'en tot element y de Y associa l'element unic x de X tau que f(x) = y es sonada (aplicacion) recipròca de la bijeccion f ; es notada $\ f^{-1}$ .

Per definicion de l'aplicacion recipròca, per tot pareu (x, y) constituit d'un element x de X e d'un element y de Y :

y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)

Se'n dedutz aisadament que :

l'aplicacion recipròca $f^{-1}:Y\to X$ es una bijeccion ; es sonada bijeccion recipròca de f ;

la recipròca de $f^{-1}$ es f ; autrament dich : $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ ;

$f^{-1}\circ f=id_{X}{\text{ e }}f\circ f^{-1}=id_{Y}$

Illustracion elementària

Una ostalariá deu aculhir un grop de toristas. A priori, i a mai d'un biais de repartir lei toristas dins lei cambras ; se pòt representar cada reparticion per una aplicacion de l'ensemble dei toristas vèrs l'ensemble dei cambras (en cada torista es associada una cambra).

Lei toristas desiran d'aver cadun una cambra individuala, çò qu'equivau a l'injectivitat de l'aplicacion. Es possible que se lo nombre de toristas passa pas lo nombre de cambras.

L'ostalier desira que cada cambra siá ocupada, çò qu'equivau a la subrejectivitat de l'aplicacion. Es possible que se lo nombre de cambras passa pas lo nombre de toristas.

Aquelei desiderata son compatibles unicament se lo nombre de toristas es egau au nombre de cambras. En aqueu cas, serà possible de repartir lei toristas de tau biais que n'i ague un (e pas mai) dins cada cambra : l'aplicacion serà alora au còp injectiva e subrejectiva, çò es bijectiva.

Exemples e còntraexemples

Per tot ensemble X, l'aplicacion identica de X es bijectiva, e es sa recipròca pròpria :

\ (id_{X})^{-1}=id_{X}

L'aplicacion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida per f(x) = 2x + 1 es bijectiva. D'efècte, per tot nombre reau y, existís una solucion reala unica x de l’eqüacion y = 2 x + 1, es a saber x = (y − 1) / 2 ; per ansin, la recipròca es :

f^{-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,y\mapsto f^{-1}(y)=(y-1)/2

.

L'aplicacion $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida per g(x) = x² es pas bijectiva, per doas rasons diferentas (que caduna d'elei sufís):
- La premiera es que (per exemple) g(1) = 1 = g(−1), donc g es pas injectiva;
- La segonda es que (per exemple) existís ges de reau x tau que x² = −1, donc g es pas subrejectiva ni mai.

L'aplicacion $h:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}$ definida per h(x) = x² es bijectiva : per tot reau positiu y, se pòt trobar exactament una solucion reala positiva x de l’eqüacion y = x², es a saber $x={\sqrt {y}}$ ; la recipròca es :

h^{-1}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},\,y\mapsto {\sqrt {y}}

.

La foncion exponenciala $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{\ast },\,x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$ es bijectiva ; sa recipròca es la foncion logaritme neperian $\ln :\mathbb {R} _{+}^{\ast }\to \mathbb {R}$ .

Proprietats

Caracterizacion dei bijeccions

Una aplicacion f : X → Y es bijectiva se e solament s’existís una aplicacion g : Y → X tala que $g\circ f$ siá l’aplicacion identica de X e $f\circ g$ siá l’aplicacion identica de Y. En aqueu cas, l'aplicacion g es unica : es la recipròca $f^{-1}$ de f.

Compausada de doas bijeccions

Se f : X → Y e g : Y → Z son d'aplicacions bijectivas, alora l'aplicacion compausada g o f : X → Z es bijectiva. De mai :

(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}

Bijeccions e cardinaus

S'existís una aplicacion bijectiva f : X → Y, alora X e Y an aitant d'elements, au sens dei nombres cardinaus.

S'existís una aplicacion injectiva i : X → Y, e una aplicacion injectiva j : Y → X, alora existís una aplicacion bijectiva f : X → Y. Es lo teorèma de Cantor-Bernstein.

Se X e Y son d'ensembles finits qu'an lo meteis nombre d'elements, alora per tota aplicacion f : X → Y, lei proposicions seguentas son equivalentas :
- f es bijectiva
- f es injectiva
- f es subrejectiva

Grop simetric d'un ensemble

Se X es un ensemble, se sòna permutacion de X tota bijeccion X → X. L'ensemble dei permutacions de X se nòta ${\mathcal {S}}(X)$ . La composicion deis aplicacions ( $\circ$ ) es una lèi de composicion intèrna subre l'ensemble ${\mathcal {S}}(X)$ ; provesit d'aquela operacion intèrna, ${\mathcal {S}}(X)$ es un grop dich grop simetric de X.

Son element neutre es l'aplicacion identica de X
Tot element f de ${\mathcal {S}}(X)$ a per simetric la bijeccion recipròca $f^{-1}$