Carrat (algèbre)

Lo carrat d'un nombre es un autre nombre que val lo nombre inicial multiplicat per el meteis. De biais mai general, tot èsser matematic per que existís una multiplicacion possedís un carrat. Atal, existís lo carrat a una matritz o encara a una foncion.

La foncion carrada designa aquela que, a un nombre donnat assòcia lo seu carrat. Aquela foncion es para, es a dire que l'imatge d'una valor o del seu oposat es la mèsma. Lo carrat de 4 o de -4 es egal a 16. Lo carrat d'un nombre real es totjorn un nombre positiu e, coma los nombres entièrs o racionals son tanben de nombres reals, lors carrats son tanben positius.

Tot nombre real estrictament positiu es lo carrat d'exactament dos nombres, l'un estrictament positiu l'autre estrictament negatiu, 0 es unicament lo carrat del meteis. Per aquela rason, es possible de definicion una foncion racina carrada, qu'a un nombre real, assòcia lo nombre positiu que lo carrat es lo nombre inicial. La situacion es un pauc diferenta pels nombres entièrs, un entier positiu es pas necessàriament lo carrat d'un autre nombre entièr. La valor 4 n'es, perque 2 × 2 es egal a 4, mas 2 n'es pas. Un nombre entièr qu'es un carrat es dich carrat perfèit.

Lo tèrme de carrat s'impausèt a una epòca ont la logica de l'algèbre geometric èra omnipresenta. Un nombre èra totjorn positiu e correspondava a la longor d'un segment. Lo carrat d'aquel nombre èra vist coma la Superfícia d'un carrat de costat la longor iniciala.

Exemples :

• 5² = 25
• 1² = 1
• 10² = 100
• ${\sqrt {100}}\,$ = 10

Generalitats sul carrat

Quand se calcula lo carrat d'un nombre, s'o multiplica per el meteis. Atal, las formas 12² e 12 x 12 son equivalentas. Pasmens se preferís la forma 12² a causa de sa claritat e sa concision. Un carrat es totjorn positiu per quin que siá nombre real.

Exemple : 12² = (-12)² = 12 × 12 = -12 × (-12) = 144

Atencion ! -(12²) e (-12)² son dos nombres diferents. Lo primièr val -144 (se multiplica 12 per 12 puèi per -1) e lo segond 144 (lo mens es comprés dins la parentèsi).

Lo carrat d'un nombre es inferior a aquel darrièr quand $0\leq n\leq 1$

La racina carrada

Article detalhat: Racina carrada.

E tal que se pòt levar un nombre al carrat, tanben se pòt far l'opéracion invèrsa: es la racina carrada d'un nombre.

Dins una racina carrada ${\sqrt {a}}$, ont $a$ es un nombre real superior o egal a 0, lo simbòl ${\sqrt {\ }}$ es nomenat radical, e lo real $a$ es lo radicande. Se pòt alara dire que la racina carrada d'un nombre egala lo nombre positiu qui, levat al carrat, val lo radicande.

Condicion d'existéncia

Una racina carrada pòt existir dins l'ensemble dels nombres reals sonque se lo radicande es positiu. Atal, ${\sqrt {a}}$ es possible dins l'ensemble dels nombres reals sonque se $a\geq 0$. Al contrari, es plan possible d'escriure $-{\sqrt {a}}$, qu'es alara egal a l'oposaté del radicande.

Resòlvre l'equacion $x²=a$ dins l'ensemble dels reals

Primièr cas: $a<0$

Quand $a$ es estrictament inferior a 0, aquò vol dire que x² es negatiu. Mas ins l'ensemble dels reals, lo carrat d'un nombre es pas jamai negatiu. Doncas: $S=\emptyset$

Segon cas: $a=0$

Quand $a$ val 0, una sola solucion es possible: 0 (perque zèro a pas de signe degun). Doncas: $S=\left\{0\right\}$

Tresen cas: $a>0$

Ja avèm vist que 12² = (-12)² = 144. E tornant aplicar aquela afirmacion a l'equacion x² = a. Aquí l'equacion a doncas doas solucions: $S=\left\{-{\sqrt {a}};{\sqrt {a}}\right\}$

Remarca: resòlvre ${\sqrt {x}}=a$

Se $a$ es estrictament négatiu, l'equacion a pas ges de solucion. Doncas: $S=\emptyset$

Al contrari se $a\geq 0$ alara trobar $x$ torna a multiplicar $a$ per el meteis, es a dire a².

Caractèr

En Unicode, lo caractèr es:

• U+00B2