Nombre negatiu

Un nombre negatiu es un nombre real qu'es inferior a zèro, coma −3 o −π ^[1].

Istòria

La primièra aparicion coneguda dels nombres negatius es dins Los Nòu Capítols sus l'art matematic (Jiǔzhāng Suànshù), que las versions conegudas fins ara datan del començament de la dinastia Han, sens que se pòsca datar las versions originalas, de segur mai ancianas^[2]. Los Nòu Capítols utilizan de pals de numeracion roges pels nombres positius e de negres pels negatius^[3]^,^[4]. Aquò permetava als Chineses de resòlvre un sistèma d'equacions lineàrias de coeficients negatius.

En Índia, se formula de règlas coerentas per los trabalhar^[5], e se compren lor significacion (en mèsme temps qu'aquesta del zèro) dins de situacions coma los emprunts e deutes^[6], tal coma n'atesta lo Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta (sègle VII), mas es possible qu'aquestes concèptes sián anteriors^[7]. Brahmagupta utiliza los nombres negatifs dins l'equacion del segond gra e sa solucion ; son vocabulari es aqueste del comèrci (un nombre negatiu es une deute, un nombre positiu una riquesa).

Los concèptes indians se difuson lentament cap a l'oèst; vèrs l'an 1000, los matematicians arabomusulmans coma Abu l-Wafa utilizan de biais corrent lo zèro e los nombres negatius (per representar de deutes, encara), e l'Occident dintra en contacte amb aquestes concèptes.

Pasmens la nocion de quantitat negative demora longtemps desconvenenta; quand de nombres negatius apareisson son considerats coma « absurds » o fals. Per exemple Diofant d'Alexandria (sègle III), al respècte de l'equacion 4x + 20 = 0, que la solucion es −5, ditz qu'es « absurda ». En Índia, Bhāskara II (sègle XII) utiliza los nombres negatius mas rebuta las solucions negativas de l'equacion quadratica; los considèra coma inadequatas e impossiblas d'interpretar. Se farà de mèsme en Occident al mens fins al sègle XVIII^[8]. S'autoriza pasmens a se'n servir, quita a los nomenar « absurds » coma Nicolas Chuquet (sègle XV) que se'n servís coma expausant.

Los matematicians occidentals resistisson al concèpte, levat dins lo contèxte comercial (ièu encara) ont se pòt los interpretar coma de deutes (Fibonacci, cap. 13 de Liber Abaci, 1202) o de pèrdas (Fibonacci, Flos, 1225).

Los nombres negatius prenguèron pauc a pauc drech de ciutat pendent lo sègle XIX, per èsser plan acceptats al sègle XX.

Generalitats

Quand se parla de nombres positius o negatius, lo nombre zèro es sovent exclusit. Per unes autos pasmens^[9]^,^[10]^,^[11], los adjectius « positiu » e « negatiu » son preses al sens larg, es a dire que zèro es inclusit; zèro es donc, alara, un nombre (lo sol) a l'encòp positiu e negatiu^[12]. Quand un nombre es negatiu e non nul, se pòt precisar, per evitar tota confusion, qu'es estrictament negatiu.

Los entièrs negatius pòdon èsser vists coma una extension dels entièrs naturals, tala que l'equacion x − y = z aja una solucion significativa per totas las valors de x e y ; l'ensemble dels entièrs positius o negatius se nomena l'ensemble dels entièrs relatius. Los autres ensembles de nombres pòdon èsser alara bastits, coma d'extensions progressivament mai elaboradas o coma de generalizacions a partir dels entièrs.

L'ensemble dels entièrs relatius negatifs es abitualaent notat $\mathbb {Z} _{-}$ ;
l'ensemble dels entièrs relatius estrictament negatius es abitualament notat $\mathbb {Z} _{-}^{*}$ ;
l'ensemble dels nombres racionals negatius es abitualament notat $\mathbb {Q} _{-}$ ;
l'ensemble dels nombres racionals estrictament negatius es abitualament notat $\mathbb {Q} _{-}^{*}$ ;
l'ensemble dels nombres reals negatifs es abitualament notat $\mathbb {R} _{-}$ ;
l'ensemble dels nombres reals estrictament negatius es abitualament notat $\mathbb {R} _{-}^{*}$ .

En comptabilitat, se presenta un nombre negatiu per un nombre escrit en roge, o per un nombre entre parentèsis.

Interpretacion

Los nombres negatius an de sens per:

representar de deutes o de deficits (en popsicion dels patrimònis positius);
representar de pèrdas o mai generalament de variacions « en mens ». Exemple: de davaladas (d'escala o d'ascensor), per oposicion a de pojadas representadas per de nombres positius; de destruccions (anullacions, suppressions, etc.) per oposition e de creacions (acreissaments, etc.) representadas per de nombres positius;
descriure de valors sus una escala que davala al dejós d'una referéncia ja fixada (un zèro), coma la temperatura, lo marcatge de nivèls de sòtol, la prigondor d'immersion sota lo nivèl de la mar… ;
comptar una quantitat mancanta, al respècte d'una referéncia. Exemples : un void dins un objècte plen; de mancants dins una unitat militara al respècte de son efectiu nominal; la graduacion d'una balança sens lo plat que servís a conténer los objèctes de pesar (es a zèro amb lo plat, donc en dejós quand se lo lèva).

Aritmetica implicant los nombres negatius

Addicion e sostraccion

Apondre un nombre negatiu ne ven a sostraire lo nombre positiu correspondent:

5 + (−3) = 5 − 3 = 2

−2 + (−5) = −2 − 5 = −7

Sostraire un nombre positiu d'un mai pichon nombre positiu dona un resultat negatiu:

4 − 6 = −2 (s'avètz en pòcha 4 € e que despensatz 6 €, alara auretz un deute de 2 €).

Sostraire un nombre positiu d'un nombre negatiu dona un resultat negatiu:

−3 − 6 = −9 (s'avètz un deute de 3 € e que depensatz encora 6 €, alara auretz un deute de 9 €).

Sostraire un nombre negatiu equival a apondre lo nombre positiu correspondent:

5 − (−2) = 5 + 2 = 7 (se dispausatz d'una valor neta de 5 € e que pagatz un deute de 2 €, alara vos rèsta una valor 7 €).

Tanben:

(−8) − (−3) = −5 (s'avètz un deute de 8 € e que pagatz un deute de 3 €, alara auretz encara un deute de 5 €).

Multiplicacion

Lo produch d'un nombre negatiu per un nombre positiu dona un resultat negatif: (−2) · 3 = −6.

Interpretacion : aurem una multiplicacion d'aqueste genre quand un eveniment negatiu se torna mai d'un còp (dins l'exemple, lo triplament d'un deute de 2 € mena a une deute de 6 €), o quand una quantitat positiva desapareis (dins l'exemple, la pèrda de 2 borsas de 3 €).

La multiplicacion de dos nombres negatius dona un resultat positiu: (−2) · (−3) = 6.

Interpretacion: aurem una multiplicacion d'aqueste genre quand la disparicion (que se representa par un nombre negatiu, se las creacions son comptadas positivament) d'una quantitat negativa (un deute per exemple) ; per exemple, 3 anullacions de deutes de 2 € caduna (avèm plan un enriquiment de 6 €), o encara la supression de 2 voids de cadun 3 unitats (correspondent plan a l'apond de 6 unitats).

Torna la distributivitat de la multiplicacion:

(3 + (−3)) · (−2) = 3 · (−2) + (−3) · (−2).

Lo membre d'esquèrra d'aquesta relacion es egal a 0 · (−2) = 0. Lo costat drech es una soma de −6 + (−3) · (−2); per que los dos membres sián egals, avèm besonh que (−3) · (−2) = 6.

Nòtas e referéncias

↑ Selon tous les dictionnaires français classiques. Certains auteurs considèrent cependant également zéro comme un nombre négatif: voir la section "Généralités".
↑ (en) Dirk Jan Struik, A Concise History of Mathematics, Dover, 2012 (Modèl:4e éd.), p. 33 : « In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history. »
↑ (en) Robert K. G. Temple, The Genius of China: 3,000 Years of Science, Discovery, and Invention (préfacé par Joseph Needham), New York, Simon and Schuster, 1986 ISBN: 978-0-671-62028-8, p. 141.
↑ L'usage comptable moderne est exactement opposé : les chiffres positifs y sont noirs, les rouges représentent les quantités négatives.
↑ (en) Britannica Concise Encyclopedia, 2007, algebra.
↑ Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], 2007, § L'évolution de l'algèbre, p. 70 (p. 49 de l'éd. en anglais de 1998).
↑ Voir Manuscrit de Bakhshali et (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « The Bakhshali manuscript », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)Modèl:MacTutor.
↑ (en) Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton University Press, 2006 Modèl:Lire en ligne (une histoire des controverses sur les nombres négatifs, principalement depuis les années 1600 jusqu'au début du sègle XX).
↑ Denise Laurent et Guy Barussaud, Épreuves de mathématiques, Foucher, coll. « Concours fonction publique », 2010 (lire en ligne), p. 46.
↑ Georges Alain, Pratique des Maths de A à Z, Hatier, 2004 (lire en ligne), p. 32.
↑ G. Bonnefond, D. Daviaud, B. Revranche et al., Le Tout-en-un de la 5^e, Hatier, coll. « Chouette », 2017 (lire en ligne), p. 72.
↑ Cette terminologie diffère donc de la terminologie anglo-saxonne, pour laquelle les « negative numbers » sont les nombres strictement négatifs, zéro n'étant considéré ni comme un nombre positif, ni comme un nombre négatif. Les nombres négatifs, avec le zéro, sont appelés en anglais les « non-positive numbers ».

Articles connèxes

Signe (aritemetica)
Signes plus e mens

[1] Selon tous les dictionnaires français classiques. Certains auteurs considèrent cependant également zéro comme un nombre négatif: voir la section "Généralités".

[2] (en) Dirk Jan Struik, A Concise History of Mathematics, Dover, 2012 (Modèl:4e éd.), p. 33 : « In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history. »

[3] (en) Robert K. G. Temple, The Genius of China: 3,000 Years of Science, Discovery, and Invention (préfacé par Joseph Needham), New York, Simon and Schuster, 1986 ISBN: 978-0-671-62028-8, p. 141.

[4] L'usage comptable moderne est exactement opposé : les chiffres positifs y sont noirs, les rouges représentent les quantités négatives.

[5] (en) Britannica Concise Encyclopedia, 2007, algebra.

[bourbaki49-6] Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], 2007, § L'évolution de l'algèbre, p. 70 (p. 49 de l'éd. en anglais de 1998).

[7] Voir Manuscrit de Bakhshali et (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « The Bakhshali manuscript », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)Modèl:MacTutor.

[martinez-8] (en) Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton University Press, 2006 Modèl:Lire en ligne (une histoire des controverses sur les nombres négatifs, principalement depuis les années 1600 jusqu'au début du sègle XX).

[9] Denise Laurent et Guy Barussaud, Épreuves de mathématiques, Foucher, coll. « Concours fonction publique », 2010 (lire en ligne), p. 46.

[10] Georges Alain, Pratique des Maths de A à Z, Hatier, 2004 (lire en ligne), p. 32.

[11] G. Bonnefond, D. Daviaud, B. Revranche et al., Le Tout-en-un de la 5^e, Hatier, coll. « Chouette », 2017 (lire en ligne), p. 72.

[12] Cette terminologie diffère donc de la terminologie anglo-saxonne, pour laquelle les « negative numbers » sont les nombres strictement négatifs, zéro n'étant considéré ni comme un nombre positif, ni comme un nombre négatif. Les nombres négatifs, avec le zéro, sont appelés en anglais les « non-positive numbers ».

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