Equipoténcia

En teoria deis ensembles, se ditz que dos ensembles E e F son equipotents (o eqüipotents) e se nòta E ≈ F, s'existís una bijeccion $f:E\to F$ . Per definicion, dos ensembles (finits o non) an la meteissa cardinalitat, valent a dire lo meteis nombre d'elements, se son equipotents.

Proprietats de l'equipoténcia

L'equipoténcia a lei proprietats seguentas :

es reflexiva : per tot ensemble E, E ≈ E (existís aumens una bijeccion de E vèrs E : l'aplicacion identica de E)

es simetrica : estent dos ensembles E e F, se E ≈ F, alora F ≈ E (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion $f:E\to F$ ; alora la recipròca $f^{-1}$ es una bijeccion $F\to E$ )

es transitiva : estent tres ensembles E, F e G, se E ≈ F e F ≈ G, alora E ≈ G (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion $f:E\to F$ e una bijeccion $g:F\to G$ ; alora la compausada $g\circ f:E\to G$ es una bijeccion)

Aiçò pròva que dins tot ensemble ${\mathcal {E}}$ d'ensembles, la relacion binària d'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia, e que l'ensemble quocient ${\mathcal {E}}/\approx \quad$ pòt èsser identificat a l'ensemble dei cardinaus deis elements de ${\mathcal {E}}$ .
Per exemple, se ${\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ es l'ensemble dei partidas d'un ensemble $\Omega$ , l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins ${\mathcal {E}}$ .

Mai es pas possible de dire que l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins l'ensemble de totei leis ensembles : dins la teoria classica deis ensembles, l'ensemble de totei leis ensembles existís pas.

Teorèma de Cantor-Bernstein

Lo teorèma de Cantor-Bernstein (o teorèma de Cantor-Bernstein-Schröder) es una caracterizacion de l'equipoténcia. S'enóncia ansin :

Estent dos ensembles E e F, s'existisson doas injeccions $i:E\to F$ e $j:F\to E$ , alora E ≈ F.

Exemples e còntraexemples

L'ensemble $\mathbb {N}$ deis entiers naturaus e l'ensemble deis entiers naturaus pars, notat aicí ${\mathcal {P}}$ , son equipotents : l'aplicacion $\mathbb {N} \to {\mathcal {P}},\,n\mapsto 2\,n$ es bijectiva

Cas deis intervals de l'ensemble $\mathbb {R}$ dei nombres reaus.
- Sián dos reaus a, b taus que $a<b$ , e leis intervals
  $[a,\,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$ , $\,]a,\,b[\,=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}$
  $[a,\,b[\,=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}$ , $\,]a,\,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}$
  - Leis intervals $[a,\,b]$ e $[0,\,1]$ son equipotents : l'aplicacion $[a,\,b]\to [0,\,1],\,x\mapsto {\frac {x-a}{b-a}}$ es bijectiva.
  - Parierament, leis intervals $\,]a,\,b[\,$ e $\,]0,\,1[\,$ (o encara $[a,\,b[\,$ e $[0,\,1[\,$ ...) son equipotents.
- Leis intervals $\,]0,\,1[\,$ e $[0,\,1]$ son equipotents :
  - l'aplicacion $i:\,]0,\,1[\,\to [0,\,1],\,x\mapsto x$ es injectiva (en fach, es l'injeccion canonica)
  - l'aplicacion $j:[0,\,1]\to \,]0,\,1[\,,\,x\mapsto {\frac {x+1}{3}}$ es injectiva
  - l'equipoténcia de $\,]0,\,1[\,$ e $[0,\,1]$ es alora consequéncia dau teorèma de Cantor-Bernstein
- Leis intervals $\mathbb {R} =\,]-\infty ,\,+\infty [\,$ e $\,]-1,\,+1[\,$ son equipotents :
  l'aplicacion $\mathbb {R} \to \,]-1,\,+1[\,,\,x\mapsto {\frac {x}{1+|x|}}$ es bijectiva.
- En fach, se pòt generalizar aquò : dos intervals de $\mathbb {R}$ quins que sián (pron que cadun contengue aumens dos ponchs) son equipotents.

Estent un ensemble $\Omega$ , l'ensemble ${\mathcal {P}}(\Omega )$ de sei partidas es equipotent a l'ensemble $\{0,\,1\}^{\Omega }$ dei foncions $\Omega \to \{0,\,1\}$ .
Per o provar, s'associa en tota partida A de $\Omega$ sa foncion caracteristica $\chi _{A}:\Omega \to \{0,\,1\}$ .
Se definís ansin: per tot element x de $\Omega$ , $\chi _{A}(x)=1$ se $x\in A$ e $\chi _{A}(x)=0$ se $x\notin A$ .
L'aplicacion ${\mathcal {P}}(\Omega )\to \{0,\,1\}^{\Omega },\,A\mapsto \chi _{A}$ es bijectiva : se f es una foncion $\Omega \to \{0,\,1\}$ e se se definís $A=\{x\in \Omega \mid f(x)=1\}$ , es clar que A es la soleta partida de $\Omega$ tala que $\chi _{A}=f$ .

Segon un teorèma classic de Cantor (cf. argument diagonau de Cantor), l'ensemble $\mathbb {N}$ deis entiers naturaus es pas equipotent a l'ensemble $\mathbb {R}$ dei reaus.
Pus generalament, existís ges d'ensemble $\Omega$ que siá equipotent a l'ensemble ${\mathcal {P}}(\Omega )$ de sei partidas (en fach, segon l'argument de Cantor, una aplicacion $\Omega \to {\mathcal {P}}(\Omega )$ es jamai subrejectiva).

Cas deis ensembles finits e deis ensembles infinits

Ensembles equipotents a un ensemble finit

Se E es un ensemble finit, leis ensembles equipotents a E son aquelei que son finits e qu'an lo meteis nombre d'elements que E.

Ensembles equipotents a un ensemble infinit

Tot ensemble equipotent a un ensemble infinit es tanben infinit. Mai se saup dempuei lo sègle XIX e leis òbras de Georg Cantor qu'existisson d'ensembles infinits que son pas equipotents, valent a dire qu'an pas la meteissa cardinalitat (cf. çai subre).