En teoria deis ensembles, se ditz que dos ensembles E e F son equipotents (o eqüipotents) e se nòta EF, s'existís una bijeccion . Per definicion, dos ensembles (finits o non) an la meteissa cardinalitat, valent a dire lo meteis nombre d'elements, se son equipotents.

Proprietats de l'equipoténciaModificar

L'equipoténcia a lei proprietats seguentas :

  • es simetrica : estent dos ensembles E e F, se EF, alora FE (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion   ; alora la recipròca   es una bijeccion  )
  • es transitiva : estent tres ensembles E, F e G, se EF e FG, alora EG (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion   e una bijeccion   ; alora la compausada   es una bijeccion)

Aiçò pròva que dins tot ensemble   d'ensembles, la relacion binària d'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia, e que l'ensemble quocient   pòt èsser identificat a l'ensemble dei cardinaus deis elements de  .
Per exemple, se   es l'ensemble dei partidas d'un ensemble  , l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins  .

Mai es pas possible de dire que l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins l'ensemble de totei leis ensembles : dins la teoria classica deis ensembles, l'ensemble de totei leis ensembles existís pas.

Teorèma de Cantor-BernsteinModificar

Lo teorèma de Cantor-Bernstein (o teorèma de Cantor-Bernstein-Schröder) es una caracterizacion de l'equipoténcia. S'enóncia ansin :

Estent dos ensembles E e F, s'existisson doas injeccions   e  , alora EF.

Exemples e còntraexemplesModificar

  • L'ensemble   deis entiers naturaus e l'ensemble deis entiers naturaus pars, notat aicí  , son equipotents : l'aplicacion   es bijectiva
  • Cas deis intervals de l'ensemble   dei nombres reaus.
    • Sián dos reaus a, b taus que  , e leis intervals
        ,  
        ,  
      • Leis intervals   e   son equipotents : l'aplicacion   es bijectiva.
      • Parierament, leis intervals   e   (o encara   e   ...) son equipotents.
    • Leis intervals   e   son equipotents :
      • l'aplicacion   es injectiva (en fach, es l'injeccion canonica)
      • l'aplicacion   es injectiva
      • l'equipoténcia de   e   es alora consequéncia dau teorèma de Cantor-Bernstein
    • Leis intervals   e   son equipotents :
      l'aplicacion   es bijectiva.
    • En fach, se pòt generalizar aquò : dos intervals de   quins que sián (pron que cadun contengue aumens dos ponchs) son equipotents.
  • Estent un ensemble   , l'ensemble   de sei partidas es equipotent a l'ensemble   dei foncions  .
    Per o provar, s'associa en tota partida A de   sa foncion caracteristica  .
    Se definís ansin: per tot element x de   ,   se   e   se  .
    L'aplicacion   es bijectiva : se f es una foncion   e se se definís  , es clar que A es la soleta partida de   tala que   .
  • Segon un teorèma classic de Cantor (cf. argument diagonau de Cantor), l'ensemble   deis entiers naturaus es pas equipotent a l'ensemble   dei reaus.
    Pus generalament, existís ges d'ensemble   que siá equipotent a l'ensemble   de sei partidas (en fach, segon l'argument de Cantor, una aplicacion   es jamai subrejectiva).

Cas deis ensembles finits e deis ensembles infinitsModificar

Ensembles equipotents a un ensemble finitModificar

Se E es un ensemble finit, leis ensembles equipotents a E son aquelei que son finits e qu'an lo meteis nombre d'elements que E.

Ensembles equipotents a un ensemble infinitModificar

Tot ensemble equipotent a un ensemble infinit es tanben infinit. Mai se saup dempuei lo sègle XIX e leis òbras de Georg Cantor qu'existisson d'ensembles infinits que son pas equipotents, valent a dire qu'an pas la meteissa cardinalitat (cf. çai subre).

Vejatz tanbenModificar