Relacion binària

En matematicas, una relacion binària dins un ensemble E (que supausarem non vuege) es una proprietat relativa ai pareus d'elements de E, tala que per cada pareu, se pòt respòndre (de òc, o de non) a la question : "la proprietat es verificada per lo pareu considerat ?"

Per exemple, la relacion binària "èsser inferior o egau a" dins l'ensemble dei nombres reaus es la proprietat verificada per lei pareus (x, y) de reaus taus que , coma , mai pas .

En teoria deis ensembles, s'identifica una relacion binària dins un ensemble E amb l'ensemble dei pareus d'elements de E que verifican la relacion (valent a dire la proprietat) : es un sosensemble dau carrat cartesian . Per exemple, s'identifica la relacion binària precedenta dins amb lo sosensemble de ansin definit :


Definicions e notacionsModificar

Formalament, una relacion binària dins un ensemble E es un sosensemble   dau carrat cartesian   . Se ditz qu'un pareu (x, y) d'elements de E verifica la relacion   se   .

Lo pus sovent, s'utiliza una notacion infixada e s'escriu :   en plaça de :   .

ExemplesModificar

  • Dins un ensemble E, l'egalitat es la relacion binària definida per l'ensemble   (la diagonala de   ).
  • Dins l'ensemble   , aver la meteissa paritat es una relacion binària ; per exemple −2 a la meteissa paritat que 6 (son pars totei dos), e 7 a la meteissa paritat que 23 (son impars totei dos) ; en convenent d'escriure aicí :   quand l'entier a a la meteissa paritat que l'entier b, se pòt afiermar que   e que   .
  • Dins l'ensemble   dei partidas d'un ensemble   , l'inclusion es una relacion binària : estent un pareu (A, B) de partidas (o sosensembles) de   , se A es inclusa dins B, s'escriu :   .
  • Dins l'ensemble   dei reaus, se definís :
    • doas relacions binàrias dichas inegalitats largas (  ) e
    • doas relacions binàrias dichas inegalitats estrictas (<, >).
  • Dins l'ensemble   deis entiers naturaus, la divisibilitat es una relacion binària. Estent un pareu (a, b) d'entiers naturaus, se ditz que a dividís b, o que a es un divisor de b (o encara que b es un multiple de a) s'existís un entier naturau q tau que b = a q (lo produch de a e q) ; en aqueu cas, s'escriu :   ; ansin :   .

ClassificacionModificar

Citam aicí quauquei proprietats frequentas, e importantas, dei relacions binàrias : la reflexivitat, la simetria, l'antisimetria e la transitivitat.

Siá   una relacion binària dins un ensemble E;

ReflexivitatModificar

Se ditz que   es reflexiva se per tot element x de E :

 

SimetriaModificar

Se ditz que   es simetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

 

AntisimetriaModificar

Se ditz que   es antisimetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

 

TransitivitatModificar

  • Se ditz que   es transitiva se per tot triplet (x, y, z) d'elements de E :
 

ExemplesModificar

  • Dins un ensemble E, l'egalitat es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
    • se x es un element de E, alora x = x (reflexivitat)
    • se x, y son d'elements de E taus que x = y, alora y = x (simetria)
    • se x, y, z son d'elements de E taus que x = y e y = z, alora x = z (transitivitat)
  • Dins l'ensemble   deis entiers, "aver la meteissa paritat" es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
    • se x es un entier, alora   (reflexivitat)
    • se x, y son d'entiers taus que  , alora   (simetria)
    • se x, y, z son d'entiers taus que   e  , alora   (transitivitat)
  • Dins l'ensemble   , l'inclusion es una relacion binària reflexiva, antisimetrica e transitiva :
    • se A es una partida de  , alora   (reflexivitat)
    • se A, B son de partidas de   talei que   e  , alora A = B (antisimetria)
    • se A, B, C son de partidas de   talei que   e  , alora   (transitivitat)
  • Dins l'ensemble   dei reaus :
    • caduna dei doas relacions d'inegalitat larga es reflexiva, antisimetrica e transitiva
    • caduna dei doas relacions d'inegalitat estricta es transitiva
  • Dins l'ensemble   deis entiers naturaus, la relacion de divisibilitat es reflexiva, antisimetrica e transitiva

Vejatz tanbenModificar