Ensemble complementari

En teoria deis ensembles, estent un ensemble E dich ensemble referenciau, lo complementari d'una partida A de E es la partida de E definida coma l'ensemble de totei leis elements de E qu'apartènon pas a A. Es l'ensemble :

Se lo rectangle representa l'ensemble referenciau E, la partida blava es lo complementari de la blanca.

$\ E\setminus A=\{x\mid (x\in E)\wedge (x\notin A)\}$:

Es tanben sonat : complementari de A a respècte de E.

Notacions

Lo complementari de A es sovent notat :

${\overline {A}}$ o $\ A^{c}$ o encara $\complement A$.

Per defugir tota ambigüitat, en cas de necessitat, s'explicita l'ensemble referenciau E, e lo complementari de A a respècte de E se nòta:

$\complement _{E}A$.

Exemples

• L'ensemble A deis entiers naturaus pars es una partida de l'ensemble $\ E=\mathbb {N}$ deis entiers naturaus. Lo complementari de A a respècte de $\ \mathbb {N}$ es l'ensemble deis entiers naturaus impars.

• L'ensemble $A=\mathbb {Q}$ dei nombres racionaus es una partida de l'ensemble $E=\mathbb {R}$ dei nombres reaus. Lo complementari de A a respècte de $\ \mathbb {R}$ es l'ensemble dei nombres irracionaus.

• En Calcul dei probabilitats, estent un espaci de probabilitat $(\Omega ,\,{\mathcal {A}},\,P)$, lo complementari ${\overline {A}}=\Omega \setminus A$ d'un eveniment A a respècte de l'ensemble univèrs $\ \Omega$ es un eveniment, sonat eveniment contrari de A.

Proprietats essencialas

Lo complementari de $A\cup B$ es en gris.

L'ensemble referenciau se nòta E ; A e B son de partidas de E.

• ${\overline {E}}=\varnothing$

• ${\overline {\varnothing }}=E$

• Un element de E pòt pas èsser au còp dins A e dins son complementari :

$A\cap {\overline {A}}=\varnothing$ (autrament dich : $A{\text{ e }}{\overline {A}}$ son desjonchs)

• Tot element de E es siá dins A siá dins lo complementari de A :

$A\cup {\overline {A}}=E$

• Se A es diferent de l'ensemble vuege e de E, alora l'ensemble $\ \{A,\,{\overline {A}}\,\}$ es una particion de E.

• Lo complementari dau complementari d'una partida A es A :

${\overline {\overline {A}}}=A$

• Diferéncia ensemblista :

$A\setminus B=A\cap {\overline {B}}$

• Lèis de De Morgan :

• Lo complementari de l'union de doas partidas de A es l'interseccion de sei complementaris :

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$.

• Lo complementari de l'interseccion de doas partidas de A es l'union de sei complementaris :

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$.

• Pus generalament, estent una familha $(A_{i})_{\,i\,\in \,I}$ de partidas de E :

${\overline {\bigcup _{\,i\,\in \,I}A_{i}}}=\bigcap _{\,i\,\in \,I}{\overline {A_{i}}}{\text{ e }}{\overline {\bigcap _{\,i\,\in \,I}A_{i}}}=\bigcup _{\,i\,\in \,I}{\overline {A_{i}}}$

Vejatz tanben

• Negacion logica