Particion (matematicas)

En matematicas, una particion d'un ensemble E es un ensemble P de sosensembles non vueges de E, desjonchs a cha dos, que forman un recurbiment de E. Autrament dich, P es una particion de E se e solament se lei sosensembles que constituisson P son non vueges, e per tot element x de E, existís un solet d'aquelei sosensembles qu'a x per element.

Definicion

Siá un ensemble E. Un ensemble P de sosensembles de E es una particion de E se :

ges d'element de P es vuege ;
l'union deis elements de P es egala à E ;
lei sosensembles de E que constituisson P (valent a dire : leis elements de P) son desjonchs a cha dos.

Exemples

L'ensemble {1, 2, 3} a lei 5 particions seguentas :

{ {1}, {2}, {3} },
{ {1, 2}, {3} },
{ {1, 3}, {2} },
{ {1}, {2, 3} } e
{ {1, 2, 3} }.

Se pòt remarcar que

{ {1, 2}, {2, 3} } es pas una particion de {1, 2, 3} perque l'element 2 apartèn au còp a {1, 2} e a {2, 3} que son pas desjonchs
{ {1}, {2} } es pas una particion de {1, 2, 3} perque 3 es element ni de {1} ni de {2} ;

Partitions e relacions d'equivaléncia

S'una relacion d'equivaléncia es donada dins l'ensemble E, alora l'ensemble de totei lei classas d'equivaléncia es una particion de E.
Reciprocament, estent una particion P de E, alora se pòt definir ansin una relacion binària dins E notada ~ :

x ~ y se e solament s'existís un element de la particion P contenent au còp x e y

Se verifica aisadament qu'es una relacion d'equivaléncia, e que P es l'ensemble de sei classas d'equivaléncia.

Ansin, lei doas nocions d'ensemble quocient e de particion son fondamentalament identicas.

Nombre de particions d'un ensemble finit

Lo nombre de Bell B_n es lo nombre de particions diferentas d'un ensemble finit de n elements. Lei premiers nombres de Bell son :

B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203.

Vejatz tanben

Relacion d'equivaléncia