Dobrir lo menú principal

En matematicas, e pus particularament en algèbra, l'estructura de grop es una abstraccion de la nocion d'operacion dins un ensemble quand existís una operacion invèrsa : per exemple l'addicion, pron que la sostraccion i siá definida. Aquesta estructura permet de modelizar de situacions fòrça divèrsas, que se rescòntran non solament en matematicas, mai tanben en fisica e en quimia.

Somari

Estructura de gropModificar

DefinicionsModificar

L'estructura algebrica de grop consistís en un monoïde que totei seis elements son simetrizables. Autrament dich, un grop notat   es un ensemble   provesit d'una lèi de composicion intèrna   satisfasent leis axiòmas seguents :

  • associativitat :  
  • existéncia d'un element neutre :   ; se saup que e es unic
  • tot element de   es simetrizable :   ; se saup que per cada element   de   , l'element   es unic : es sonat simetric de  .

Se ditz que   es l'ensemble sosjacent au grop  . Lo grop es dich finit se l'ensemble sosjacent es finit e en aqueu cas, l'òrdre dau grop es lo nombre d'elements de l'ensemble sosjacent ; senon lo grop es dich infinit.

Terminologia : en luòga de dire que lo pareu   es un grop, se ditz sovent que « l'ensemble  , provesit de la lèi de composicion intèrna  , es un grop » ; se i a pas d'ambigüitat, lo grop se poirà notar   en plaça de   (l'operacion intèrna es sosentenduda).

Commutacion e commutativitatModificar

Siá un grop   .

Commutacion d'elementsModificar

Se ditz que dos elements a, b de G commutan se   .

Per exemple, tot element a commuta :

  • amb eu meteis :  
  • amb l'element neutre :  
  • amb son simetric :  

Grop commutatiuModificar

Lo grop es dich commutatiu (o abelian) se, de mai, la lèi dins G es commutativa, çò es :

  •   (commutativitat)

Un grop es commutatiu se e solament se totei seis elements commutan a cha dos.

NotacionsModificar

La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.

Grop multiplicatiuModificar

Quand la lèi dins G es notada multiplicativament, lo grop es dich multiplicatiu :

  • s'escriu : x · y o x y en plaça de :  
  • l'element neutre se nòta "1" o "1G" (element unitat de G)
  • per tot element x, lo simetric es sonat invèrs de x e se nòta  

Grop additiuModificar

Quand la lèi dins G es notada additivament, lo grop es dich additiu :

  • s'escriu : x + y en plaça de :  
  • l'element neutre se nòta "0" o "0G" (element nul, o zèro de G)
  • per tot element x, lo simetric es sonat opausat de x e se nòta  

Es convengut qu'un grop additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un grop non commutatiu).

Premierei proprietatsModificar

Estent un grop   onte lo simetric de cada element x se nòta x'  :

  • e' = e (lo simetric de l'element neutre e es e)
  •   (simetric dau compausat de dos elements)
  •   (simetric dau simetric d'un element)

ExemplesModificar

  • L'ensemble   deis entiers, provesit de l'addicion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble   dei racionaus, de l'ensemble   dei reaus, e de l'ensemble   dei complèxes.
  • L'ensemble   dei racionaus diferents de 0, provesit de la multiplicacion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble   dei reaus diferents de 0, e de l'ensemble   dei complèxes diferents de 0.
  • L'ensemble   dei permutacions d'un ensemble X, provesit de la composicion deis aplicacions, es un grop ; tre que X a aumens tres elements, aquest grop es pas commutatiu.
  • Siá   l'ensemble dei partidas d'un ensemble   . Estent dos elements A, B de   , se definís sa diferéncia simetrica, notada   :
  .
L'ensemble   , provesit de l'operacion de diferéncia simetrica, es un grop commutatiu. L'element neutre es la partida vueja  , e cada element de   es son pròpri simetric : per tota partida A de  ,
  e  

CòntraexemplesModificar

  • L'ensemble   deis entiers naturaus, provesit de l'addicion, es un monoïde que son element neutre es 0 ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable dins   es 0.
  • L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un monoïde que son element neutre es la matritz unitat ; mai es pas un grop : existisson de matritz carradas non invertiblas.
  • L'ensemble dei partidas d'un ensemble non vuege, provesit de l'operacion d'union ensemblista, es un monoïde que son element neutre es la partida vueja ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable es la partida vueja.

Iterats d'un element per la lèi dau gropModificar

S'es ja vist la nocion d'iterats d'un element per la lèi d'un monoïde. Se limitam aicí au cas d'un grop multiplicatiu e d'un grop additiu (la soleta diferéncia entre lei dos cas es la notacion).

Poténcias d'un element d'un grop multiplicatiuModificar

Estent un grop multiplicatiu   , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :

  •   (produch de m factors egaus a x)
  •   (produch de m factors egaus a l'invèrs x' ) ; en particular,  , çò que justifica la notacion usuala de l'invèrs
  •  

Se definís ansin una aplicacion   sonada exponenciacion, qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element   es la poténcia d'exponent n de x.

Proprietats de l'exponenciacionModificar

  :

  •  
  •  

Avís : estent dos elements x, y de G e un entier n, en generau  . Pasmens, se leis elements x, y commutan, e en particular se lo grop es commutatiu :  

Multiples d'un element d'un grop additiuModificar

Estent un grop additiu   , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :

  •   (soma de m tèrmes egaus a x)
  •   (soma de m tèrmes egaus a l'opausat x' ) ; en particular,  , çò que justifica la notacion usuala de l'opausat
  •  

Se definís ansin una aplicacion   qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element   es lo multiple de coefficient n de x.

ProprietatsModificar

  :

  •  
  •  
  •  

SosgropModificar

DefinicionModificar

Un sosgrop d'un grop G es un sosensemble non vuege H de G qu'es estable per la lèi de G, e qu'es un grop per la lèi inducha, autrament dich :

  •  
  •  

Se pòt caracterizar ansin un sosgrop H de G : es un sosensemble non vuege tau que :

  •  

ExemplesModificar

Dins un grop G :

  • l'ensemble   que l'element neutre es son solet element es un sosgrop
  • l'ensemble   deis elements que commutan amb totei leis elements de G es un sosgrop sonat centre de G:
 

Morfisme de gropsModificar

Un morfisme de grops es una aplicacion compatibla amb l'estructura algebrica.

DefinicionsModificar

  • Sián dos grops   (d'element neutre  ) e   (d'element neutre  ) . Un morfisme de   vèrs   es per definicion una aplicacion   tala que
 
  • En particular, un endomorfisme dau grop   es un morfisme de   vèrs eu meteis.
  • Estent un morfisme   de   vèrs   , se definís ansin son nuclèu (sosensemble de   ), notat   , e son imatge (sosensemble de   ), notat   :
 
 
  • Un isomorfisme de grops es un morfisme bijectiu. En particular, un endomorfisme bijectiu d'un grop es sonat automorfisme dau grop (es un isomorfisme dau grop vèrs eu meteis).
  • Se ditz que dos grops son isomòrfs s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos grops isomòrfs son indestriables.

ProprietatsModificar

  • Siá un morfisme   de   vèrs   (lei dos grops son notats multiplicativament). Alora :
    •   : l'imatge per   de l'element neutre dau premier grop es l'element neutre dau segond grop.
    • Per tot element x de  ,   : l'imatge per   de l'invèrs d'un element es l'invèrs de l'imatge d'aquest element.
    • Pus generalament, per tot pareu (x, n) onte x es dins   e n es un entier :  .
  • L'aplicacion identica de   es un automorfisme de   .
  • La compausada de dos morfismes de grops es un morfisme de grops : sián tres grops multiplicatius   ,   ,   e dos morfismes   de   vèrs   ,   de   vèrs   .
    Alora, l'aplicacion compausada   es un morfisme de   vèrs  .
    En particular, la compausada de dos isomorfismes de grops es un isomorfisme de grops.
  • L'imatge d'un morfisme de grops es un sosgrop. Pus generalament, l'imatge d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop.
  • L'imatge invèrs d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop. En particular, lo nuclèu es un sosgrop.
  • La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de   vèrs   es un isomorfisme de   vèrs   dich isomorfisme recipròc.

ExemplesModificar

  • Estent un reau a, l'aplicacion   es un endomorfisme dau grop additiu   ; se   ,   es un automorfisme e l'automorfisme recipròc es l'aplicacion  
  • L'aplicacion   es un isomorfisme dau grop additiu   vèrs lo grop multiplicatiu   (çò que pròva qu'aquestei grops son isomòrfs):
    • es bijectiva
    •  
L'isomorfisme recipròc es l'aplicacion