Pareu (matematicas)

En matematicas, un pareu (var. parelh) es una lista constituida de dos objèctes (distints o non) que se i destria un premier e un segond: es una nocion onte l'òrdre deis objèctes se deu prendre en còmpte.

Lo pareu deis objèctes a (lo premier), b (lo segond) se nòta: (a, b). Lei pareus (a, b) e (b, a) son distints, alevat se a = b.

En geometria euclidiana plana, dins un sistèma de coordenadas cartesianas, cada ponch es representat per lo pareu (x, y) de sei coordenadas: son abscissa x e son ordenada y. Se lei nombres reaus x, y son diferents, lei dos pareus (x, y), (y, x) representan dos ponchs diferents.

Nocion de pareu

Dins un pareu (a, b), se ditz que l'objècte a es la premiera componenta dau pareu, e l'objècte b n'es la segonda componenta. En plaça de componenta, se ditz sovent (abusivament) element.

Proprietat caracteristica

Es essenciala la proprietat seguenta, que justifica l'importància de la nocion de pareu (e de sei generalizacions; vejatz infra).

Dos pareus son egaus se e solament se:

sei premierei componentas son egalas e
sei segondas componentas son egalas

Autrament dich, se a, b, a' , b' son d'objèctes:

(a, b) = (a' , b' )

\ \iff

(a = a' )

\wedge

(b = b' )

(lei dos simbòls logics "

\iff

", "

\wedge

" se lièjon respectivament: "se e solament se", "e")

Definicion ensemblista

Istoricament, la nocion de pareu (satisfasent la proprietat caracteristica precedenta) foguèt inicialament considerada coma primitiva. Posteriorament, dins la premiera mitat dau sègle XX, de matematicians (Wiener, puei Kuratowski) s'avisèron que se podiá definir a partir de la nocion d'ensemble.

La definicion usuala, deguda a Kuratowski, es aquesta:

(a,\,b)=\{\{a\},\{a,\,b\}\}

Es de bòn demostrar que lei pareus, ansin definits, satisfàn la proprietat caracteristica. Existisson d'autrei definicions concurrentas. En practica, la forma d'aquelei definicions a ges d'importància: basta de saber qu'es possible de definir la nocion de pareu, satisfasent la proprietat caracteristica, dins lo quadre de la teoria deis ensembles.

Generalizacions

Se pòt generalizar la nocion de pareu en de listas constituidas de mai de dos objèctes.

Triplets

Un triplet es una lista (a, b, c) constituida de 3 objèctes (distints o non) sonats componentas dau triplet, que se i destria un premier, un segond e un tresen, respectivament a, b e c.

Una definicion possibla dau triplet es aquesta:

(a, b, c) = ((a, b), c) (lo pareu que sa premiera componenta es lo pareu (a, b), e que sa segonda componenta es c)

Lei triplets satisfàn la proprietat caracteristica seguenta, que generaliza aquela dei pareus. Se a, b, c, a' , b' , c' son d'objèctes:

(a, b, c) = (a', b' , c' )

\iff

(a = a' )

\wedge

(b = b' )

\wedge

(c = c' )

En geometria espaciala elementària, dins un sistèma de coordenadas cartesianas, se representa cada ponch per lo triplet (x, y, z) de sei coordenadas.

n-uplets

Pus generalament, se $a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n}$ son n objèctes (distints o non), se definís lo n-uplet (o n-lista) $(a_{1},\,a_{2},\dots ,\,a_{n})\;$ ; se ditz que $a_{1},\,a_{2},\dots ,\,a_{n}$ son sei componentas.

Lei n-uplets satisfàn la proprietat caracteristica seguenta, analòga ai precedentas. Se $a_{1},\dots ,\,a_{n},\,a'_{1},\,\dots ,\,a'_{n}\;$ son d'objèctes:

(a_{1},\,\dots ,\,a_{n})=(a'_{1},\,\dots ,\,a'_{n})

\iff

(a_{1}=a'_{1})\wedge \dots \wedge (a_{n}=a'_{n})