Fòrça centripèta

Lo tèrme fòrça centripèta ("que tend a s'aprochar del centre", en latin) designa una fòrça permetent de mantenir un objècte dins una trajectòria circulara o, mai sovent, elliptica. En efècte, tot objècte descrivent una trajectòria elliptica possèda en coordonadas cilindricas una acceleracion radiala non nulla, nomenada acceleracion centripèta, qu'es dirigida cap al centre de corbadura. D'un punt de vista dinamica, lo Principi Fondamental de la Dinamica (PFD) indica alara la preséncia d'una fòrça radiala dirigida ela tanben cap al centre de corbadura.

Una pelòta (en m) ligada per un fial torna a l'entorn d'un axe (en o). La fòrça centripèta es exercada pel fial sus la pelòta per la mantenir en rotacion sus la trajectòria especificada. Es aquela fòrça que dona al fial sa tension.

Aquela fòrça es al sens de Newton una fòrça vertadièra, que poiriá aver divèrsas originas, per exemple:

• fòrça d'exageracion (movement dels neutrons)

• fòrça de gravitacion (movement de las planetas)

• fòrça de tension (movement circulari d'una massa ligada a un fial tendut que l'autre extremitat es mai sovent fixe (o gaireben))

Sens fòrça centripèta, l'objècte pòt pas tornejar o s'arrèsta de tornejar. Dins l'illustracion del costat, se lo fial se romp, la pelòta s'arrèsta de tornejar e contunha per simple inercia un movement rectilinha, tangent a son anciana trajectòria circulària. Aquel punch de vista es aquel d'un observator situat fòra del dispositiu tornant (coma lo lector que regarda l'esquèma - aquel repari es galilean). Per un observator situat al centre de rotacion e tornejant amb el (lo repari es alara non galilean) l'ejeccion de la pelòta es percebut diferentament, coma l'efècte d'una fòrça dicha fòrça centrifuga (la fòrça centrifuga es dicha fictiva perque interven sonque dins lo repari en rotacion, per interpretar un efècte subjectiu).

Dins un referencial galilean un còrs isolat possèda, s'es en movement, una trajectòria rectilinha uniforma (velocitat constanta). Li far percorrir una trajectòria elliptica torna a lo desviar de contunh, e doncas a li aplicar a tot instant una fòrça dirigida cap al centre de corbadura. Aquela fòrça es alara qualificada de centripèta. Lo caractèr centripèt d'una fòrça es pas intrinsèc, mas li es conferit per son efècte sus la trajectòria de l'objècte. Seriá mai corrècte de parlar de fòrça amb efècte centripèt.

Per construccion, la fòrça centripèta es radiala, dirigida cap al centre de corbadura, e son intensitat es inversament proporcionala al rai de corbadura de la trajectòria du punch d'aplicacion.

Formula de basa

Lo vector velocitat es definit per la velocitat e la direccion del movement. Se la resultanta (es a dire la soma dels vectors) de fòrças aplicadas a un objècte es nula, aquel objècte n'accelèra pas e doncas se desplaça sus une linha drecha a velocitat constanta: lo vector velocitat es constant. Al contrari, un objècte que se desplaça a velocitat constanta e que la trajectòria es un cercle cambia de contunh de direccion de movement. Lo taus de variacion del vector velocitat es alara nomenat acceleracion centripèta.

Aquela acceleracion centripèta ${\vec {a}}_{c}$ depend del rai r del cercle e de la velocitat v de l'objècte. Mai la velocitat es granda, mai l'acceleracion aumenta, tanben mai lo rai es pichon, mai aumenta. De biais mai precís, l'acceleracion centripèta es donat per la formula

${\vec {a}}_{c}=-{\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {v^{2}}{r}}{\frac {\vec {r}}{r}}=-\omega ^{2}{\vec {r}}$

ont ω = v / r es la velocitat angulara. Lo signe negatiu indica que la direccion d'aquela acceleracion es dirigida cap al centre du cercle, es a dire opausada al vector posicion ${\vec {r}}$. (Supausam que l'origina de ${\vec {r}}$ es plaçada al centre del cercle.) ${\hat {r}}$ designa lo vector unitari dins la direccion de ${\vec {r}}$.

Segon la Segonda lei de Newton, ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$, la fòrça fisica ${\vec {F}}$ deu èsser aplicada a una massa m per produire une tala acceleracion. La quantitat de fòrça necessària per se desplaçar a la velocitat v sul cercle de rai r es:

${\vec {F}}_{c}=-{\frac {mv^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {mv^{2}}{r}}{\frac {\vec {r}}{r}}=-m\omega ^{2}{\vec {r}}=m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$

l'expression foguèt formulada de diferents biais equivalents. Aquí, ${\vec {\omega }}$ es lo vector de velocitat angulària. Aquí encara, lo signe negatiu indica que la direccion es dirigida cap a l'interior cap al centre del cercle e dins la direccion opausada al vector rai ${\vec {r}}$. Se la fòrça aplicada es mens fòrta respectivament mai fòrta que ${\vec {F}}_{c}$, l'objècte s'introduirá cap a l'exterior respectivament l'interior, se desplaçant sus un cercle mai grand, resp. mai pichon.

S'un objècte se desplaça sus un cercle a une velocitat variabla, son acceleracion pòt èsser divisida en doas compausantas: l'acceleracion radiala (l'acceleracion centripèta) que cambia la direccion de la velocitat e una compausanta tangenciala que cambia l'amplitud de la velocitat.

Exemples

Per un satellit en orbita a l'entorn d'una planeta, la fòrça centripèta es porgida per l'atraccion gravitacionala entre lo satellit e la planeta e agís en direccion del baricentre dels dos objèctes.

Per un objècte ligat al tèrme d'una còrda e tornejant a l'entorn d'un axe de rotacion vertical, la fòrça centripèta es la compausanta orizontala de la tension de la còrda qu'agís cap al du baricentre entre l'axe de rotacion e l'objècte.

Per un objècte en movement circulari unifòrma, aquela fòrça val $F=m\times {\frac {v^{2}}{r}}$. $v$ essent la velocitat e $r$, lo rai del cercle.

Exemple numeric

Exemple: una pelòta de 1 kg va a 2m·s^-1 a una distança de 0,5m du pal central, doncas $1\times {\frac {2^{2}}{0.5}}=$ una fòrça de 8 newtons (0,8 kgf)

ont la conversion en quilogramme-fòrça s'exprimís atal: ${\frac {F}{g}}={\frac {8N}{9.8m/s^{2}}}=0.8kgf$.

Confusions usualas

La fòrça centripèta se deu pas confondre amb la fòrça centrifuga. Aquela darrièra es una fòrça fictiva dicha d'inercia qu'interven se se plaçam dins un referencial en rotacion, per interpretar l'alunhament d'un còrs qu'escapa a aquela rotacion. Per poder utilizar las leis de Newton se cal plaçar dins un referencial non accelerat, dich referencial galilean. Dins un tal referencial las fòrças d'inercias despareisson tot simplament al benefici de las solas fòrças vertadièras (non fictivas).

La fòrça centripèta tampauc se deu pas confondre amb la fòrça centrala. Las fòrças centralas son una classa de fòrças fisicas entre dos objèctes que seguisson doas condicions:

1. la magnitud despend sonque de la distança entre los dos objèctes
2. la direccion punta le long de la linha ligant los centres d'ambedos.

Per exemple, la fòrça gravitacionala entre doas massas o la fòrça electroestatica entre doas cargas electricas son de fòrças centralas. La fòrça centripèta manten un objècte en movement circulari es sovent una fòrça centrala, mas es pas la sola.

Derivacion geometrica

Los vectors posicion e velocitat se desplaçan ambedos lo long d'un cercle.

Lo cercle d'esquèrra mòstra un objècte se desplaçant sus un cercle a velocitat constanta a quatre instants diferents sur l'orbita. Son vector posicion es ${\vec {R}}$ e son vector velocitat ${\vec {v}}$.

Lo vector velocitat ${\vec {v}}$ es totjorn perpendicular al vector posicion ${\vec {R}}$ (perque ${\vec {v}}$ es torjorn tangent al cercle); atal, coma ${\vec {R}}$ se desplaça en cercle, ${\vec {v}}$ fach lo meteis. Lo movement circulari de la velocitat es indicat sul dessenh de drecha, amb lo movement de l'acceleracion ${\vec {a}}$. La velocitat es lo taus de variacion de la posicion, l'acceleracion es lo taus de variacion de la velocitat.

Coma los vectors posicion e velocitat se desplaçan ensemble, tornejan a l'entorn de lors cercles respectius a un meteis instant T. Aquel temps es la distança percorrida divisada per la velocitat:

$T={\frac {2\pi R}{v}}$

e per analogia,

$T={\frac {2\pi v}{a}}$

Egalant aquelas doas equacions e resolvent per $a$, obtenèm:

$a={\frac {v^{2}}{R}}$

la comparason dels dos cercles indica que l'acceleracion punta cap al centre del cercle R. Per exemple, a un instant donat, lo vector posicion ${\vec {R}}$ punta cap a 12 oras, lo vector velocitat ${\vec {v}}$ punta cap a 9 oras que (regardant sul cercle de drecha) a un vector d'acceleracion puntant cap a 6 oras. Atal lo vector acceleracion es opausat al vector posicion e punta en direccion del centre del cercle.

Derivacion per l'analisi

Una autra estrategia de derivacion es d'utilizar un sistèma de coordonadas polaras, supausant que lo rai demòra constant, e de derivar dos còps.

Siá ${\vec {R}}(t)$ lo vector descrivant la posicion d'una massa a un instant t. Coma supausam que lo movement es circular unifòrme, avèm ${\vec {R}}(t)=r\cdot {\hat {u}}_{R}$ ont r es constant (rai del cercle) e ${\hat {u}}_{R}$ es lo vector unitari puntant dempuèi l'origina cap a la massa. La direccion es descricha per θ, angle entre l'axe de las abscissas (x) e le vector unitari, mesurat dins le sens trigonometric (sens contrari al las agulhas d'un relòtge). Exprimit dins lo sistèma de las coordonadas cartesianas en utilizant los vectors unitaris $\scriptstyle {\hat {i}}$ (axe de las abscissas, x) e $\scriptstyle {\hat {j}}$ (axe de las ordonadas, y), avèm

${\hat {u}}_{R}=cos(\theta )\cdot {\hat {i}}+sin(\theta )\cdot {\hat {j}}$

Nota: Al contrari dels vectors unitats cartesians, que son constants, la direccion del vector unitat en coordonadas polaras depend de l'angle θ, e doncas las seunas derivadas dependan del temps.

En desribant per obtenir lo vectpr velocitat:

${\vec {v}}=r{\frac {d{\vec {u_{R}}}}{dt}}\,$

${\vec {v}}=r{\frac {d\theta }{dt}}{\vec {u_{\theta }}}\,$

${\vec {v}}=r\omega {\vec {u_{\theta }}}\,$

ont ω es la velocitat angular dθ/dt, e ${\hat {u}}_{\theta }$ es lo vector unitari qu'es perpendicular a ${\hat {u}}_{R}$ e que punta cap a de θ aumentant. En coordonadas cartesianas, avèm ${\hat {u}}_{\theta }=-sin(\theta )\cdot {\hat {i}}+cos(\theta )\cdot {\hat {j}}$.

Aquel resultat indica que lo vector velocitat es dirigit a l'entorn del cercle e en tornant derivar obtenèm l'acceleracion ${\vec {a}}$

${\vec {a}}=r\left({\frac {d\omega }{dt}}{\vec {u_{\theta }}}-\omega ^{2}{\vec {u_{r}}}\right)\,$

E Atal, la compausanta radiala de l'acceleracion es:

a_R = −ω²r