Nombre algebric

Un nombre algebric, en matematicas, es tot nombre qu'es solucion d'una equacion algebrica (o encara racina d'un polinòmi diferent de zèro) de coeficients entièrs (o de biais equivalent, de coeficients racionals). Sens mai de precision, se supausa qu'un nombre algebric es un nombre complèxe, mas se pòt tanben considerar los nombres algebrics dins d'autres còrses commutatius, coma lo còrs dels nombres p-adics. Los elements d'un còrs de nombres son (per definicion) de nombres algebrics.

Lo polinòmi irreductible unitari avent un tal nombre per racina es nomenat polinòmi minimal d'aquel nombre. L'estudi d'aqueles nombres, de lors polinòmis minimals e dels còrses que los contenon es l'objècte de la teoria de Galois.

Exemples

Tot nombre racional es algebric, perque lo quocient ${\frac {p}{q}}\,$ de dos entièrs es racina de l'equacion $qx-p=0\,$ .
Un nombre irracional pòt èsser o non algebric. Per exemple ${\sqrt {2}}\,$ o ${\frac {3^{\frac {1}{3}}}{2}}\,$ son algebrics, perque son las solucions de $x^{2}~-~2=0\,$ e $8x^{3}~-~3=0\,$ , respectivament.
Lo nombre complèxe $i\,$ es algebric, perqu'es racina de l'equacion $x^{2}+1=0$ .

Proprietats

Los nombres que son pas algebrics son nomenats nombres transcendents. Gaireben totes los nombres complèxes son transcendents, perque l'ensemble dels nombres algebrics es denombrable alara que l'ensemble dels nombres complèxes, e en consequéncia atal l'ensemble dels nombres transcendents, o es pas. Los exemples pus coneguts de nombres transcendents son $\pi \,$ e $e\,$ . D'autres exemples son donats pel teorèma de Gelfond-Schneider.

Totes los nombres algebrics son calculables.

S'un nombre algebric es racina d'una equacion polinomiala de gra n, e s'es racina de cap d'equacion polinomiala de gra estrictament inferior a n, se ditz qu'es un nombre algebric de gra n. Per exemple, los nombres algebrics de gra 1 son los racionals; $i$ e ${\sqrt {2}}$ son algebrics de gra 2.

Lo concèpte de nombre algebric pòt èsser generalizat a d'extensions de còrs arbitraris; los elements dins de talas extensions que satisfàn a las equacions polinomialas son nomenats elements algebrics.

Lo còrs dels nombres algebrics

La soma, la diferéncia, lo produch e lo quocient de dos nombres algebrics son encara algebrics (aquel resultat es gaire evident; lo biais mai simple d'o mostrar passa per l'utilizacion del resultant); per consequéncia, los nombres algebrics forman un còrs commutatiu, abitualament notat ${\overline {\mathbb {Q} }}$ ; es inclús dins $\mathbb {C}$ . Avèm ${\overline {\mathbb {Q} }}\neq \mathbb {C}$ : en efècte, l'ensemble ${\overline {\mathbb {Q} }}$ es denombrable, alara que $\mathbb {C}$ o es pas. Ne resulta l'existéncia de nombres que son pas algebrics: se ditz que son transcendents. Se pòt mostrar que cada racina d'una equacion polinomiala que sos coeficients son de nombres algebrics es encara algebrica. Aquò se pòt tornar formulat disent que lo còrs dels nombres algebrics es algebricament claus. En fach, es lo pus pichon còrs algebricament claus contenent los nombres racionals, e es en consequéncia nomenat clausura algebrica del còrs $\mathbb {Q}$ dels racionals.

Totes los enonciats çai sus son fòrça aisidament demostrats dins lo contèxte general dels elements algebrics d'una extension de còrs.

Nombres definits per de radicals

Totes los nombres que se pòdon obtenir dempuèi d'entièrs utilizant un nombre finit d'Addicions, de sostraccions, de multiplicacions, de divisions e d'extraccions de racinas n-^ens (que n es un nombre entièr positiu) son algebrics. La recipròca, pasmens, es pas vertadièra: existís de nombres algebrics que se pòdon pas obtenir d'aquel biais (es lo teorèma d'Abel–Ruffini); segon la teoria de Galois, totes aqueles nombres son de gra superior o egal a 5. Un exemple d'un tal nombre es l'unica racina reala de $x^{5}-x-1=0\,$ .

Entièrs algebrics

Article detalhat: entièr algebric.

Un nombre algebric que satisfà una equacion polinomiala de gra n de coeficients a_i apartenent a l'ensemble $\mathbb {Z}$ dels entièrs, que lo primièr coeficient $a_{n}$ val 1 (es a dire qu'es racina d'un polinòmi unitari), es nomenat un entièr algebric. Atal, $3+2{\sqrt {2}}\,$ , racina de $x^{2}-6x+1$ e $2~-~5i\,$ , racina de $x^{2}-4x+29$ , son d'entièrs algebrics; quitament pel nombre d'aur ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ , qu'es racina de $x^{2}-x-1$ ; aquel darrièr exemple mòstra que los "coeficients" d'un entièr algebric pòdon pas èsser entièrs.

La soma, la diferéncia e lo produch d'entièrs algebrics son encara d'entièrs algebrics, çò que significa que los entièrs algebrics forman un anèl. Le nom entièr algebric ven del fach que sonque los nombres racionals que son d'entièrs algebrics son los entièrs, e perque los entièrs algebrics dins tot còrs de nombres son jos plan d'aspèctes analògs als entièrs. Se $\mathbb {K} \,$ es un còrs de nombres, son anèl d'entièrs es lo sosanèl dels entièrs algebrics dins $\mathbb {K} \,$ , e es frequentament notat ${\mathcal {O}}_{\mathbb {K} }\,$ . Aqueles anèls son los exemples mai tipics d'anèls de Dedekind.

Generalizacion

Pus generalament: sián $\mathbb {K}$ un còrs, e $\mathbb {L}$ una extension de $\mathbb {K}$ . Un element de $\mathbb {L}$ es dich algebric sus $\mathbb {K}$ s'es racina d'una equacion polinomiala de coeficients dins $\mathbb {K}$ , non totes nuls; es dich transcendent sus $\mathbb {K}$ dins lo cas contrari.

La definicion donada mai naut s'obten dins lo cas particulièr que $\mathbb {K}$ es lo còrs $\mathbb {Q}$ dels racionals e $\mathbb {L}$ es lo còrs $\mathbb {C}$ dels nombres complèxes.

Classas particulièras de nombres algebrics

Ligam extèrne

(fr)(histoire des sciences) L'article de 1874 de Cantor sus la denombrabilitat dels nombres algebrics en linha e comentat sul site BibNum.