Entièr natural

En matematicas, un entièr natural es un nombre permetent fondamentalament de denombrar una quantitat d'objèctes comptant cadun per un e donc de comptar d'objèctes considerats coma equivalents : un geton, dos getons… una carta, dos cartas, tres cartas…Èra peraquís la definicion donada per Euclides "comptar una colleccion o quantitat d'unitats entièras" .

D'aquela definicion, seguís :

- un tal nombre entièr pòt s'escriure amb una seguida finida de chifras en notacion decimana posicionala (sens signe e sens virgula).

- cada nombre entièr a un successor unic, es a dire un entièr que li es imediatament superior. La lista dels entièrs naturals es infinida.

- la situacion del nombre zèro foguèt discutada a la fin del sègle XIX (Pas cap d'entièr natural a 0 per successor e es pas un nombre positiu : es un entièr natural ? ),

- los entièrs naturals s'identifican als entièrs relatius positius o nuls, tanben als nombres racionals positius o nuls podent s'escriure jos la forma d'una fraccion de denominator 1, e d'un biais mai general als nombres reals positius o nuls de partida fraccionària nula.

L'estudi dels entièrs naturals e de lors relacions, amb las operacions d'addicion e de multiplicacion per exemple, constituís dempuèi l'Antiquitat grèga una branca de las matematicas nomenada « aritmetica ».

Al sègle 19, i aviá fòrça discussions sobre l'existéncia filosofica d'aquels nombres (son "naturals" o creats ?) amai la cèrca d'una construccion rigorosa de l'aritmetica e la ligason amb la teoria dels ensembles. En 1889, Peano faguèt una sintèsi praticament definitiva del trabalh de fòrça matematicians de l'epoca (Richard Dedekind, Grassmann, Frege,..) publicant sos axiomas de l'estructura dels entièrs naturals. Inclutz lo nombre zèro coma natural e la lista dels entièrs naturals es donc :

0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …

(La definicion de Richard Dedekind, de l'ensemble dels entièrs naturals exclutz lo nombre zèro; . Aquestas doas definicions coexistisson uèi encara.)

Ernst Zermelo, quand axiomatizèt la teoria dels ensembles, montrèt que los entièrs naturals podavan èsser definits en tèrmes ensemblistas (s'utiliza uèi mai sovent un metòde degut a von Neumann).

L'ensemble dels entièrs naturals, que contenga o non lo nombre zèro, es notat « N » o « ℕ ». La notacion es deguda a Dedekind en 1888, que l'utiliza per l'ensemble dels entièrs naturals non nuls. Uèi aqueste darrièr ensemble es tanben sovent notat « N* » (o « ℕ* »).

Los entièrs naturals permeton de comptar (una poma, doas pomas, tres pomas…).

Concepcion

De l'enumeracion cap a l'abstraccion

La nocion d'entièr natural, ocupant d'en primièr (e fins al sègle XVII) tota l'idèa de nombre, es belèu eissit de la nocion de colleccion: lo nombre entièr es d'enprimièr concebut coma un cardenal. Unes objèctes o animals, tot essent distinctes los uns dels autres, pòdon admetre une designacion comuna, del fach de lor semblança o d'una autra caracteristica partejada. Lor amassada constituís una colleccion, tal coma un tropèl de vacas, un collar de pèrlas, un molon de pèiras.

Lo nombre es en grelh dins l'enumeracion d'una colleccion, es a dire lo fach de far desfilar totes sos elements, un a un e sens repaticion. Pren consisténcia dons lo constat que doas enumeracions esimultanèas (d'un tropèl cap un enclaus e de pèiras dins un sac, par exemple) se terminan o sempre en mèsme temps, o sempre en escart. Lo nombre es fin finala presentat quand lo sac de pèiras o lo baston d'òsca es utilizat per indicar una quantitat.

Pasmens, lo concèpte d'entièr nàis veraiament sonque quand es destriat de son representant, es a dire quand represent pas pus de pèiras, o d'òscas, o vacas: i a aquí una primièra abstraccion ont cada objècte es considerada coma una unitar pura e sens qualitat. Aqueste procediment mental es conegut jol nom d'abstraccion: es fach abstraccion de la qualitat de l'objècte per s'interessar unicament a la quantitat. Una segonda abstraccion mèna alara a la consideracion d'aquestas unitats coma una colleccion d'unitats.

Euclides dona al Libre VII dels Elements la definicion seguenta: « L'unitat es çò relativament a que tot objècte es nomenat Un. » Aquesta abstraccion li permet de definir enseguida lo nombre (entièr natural) coma « colleccion d'unitats ».

Representacion dels primièrs entièrs naturals non nuls per de colleccions de punts.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
*

Definicion avortada dels entièrs en tèrmes de classa de bijectabilitat

Frege pensèt (Fondements de l'arithmétique, 1884) a definir los entièrs en tèrmes de classa de bijectabilitat.

Aquesta idèa consistís a definir cada entièr n coma l'amassada de totes los ensembles avent n elements.

Aquesta plan seduisenta definicion buta al paradòxe de Russell quand se vòl, en vista d'un monisme ontologic, qu'una tala amassada siá, tanben, un ensemble.

Aquò que, levat per l'entièr 0, identificat a l'ensemble void, per tot autre entièr n le'massada dels ensembles avent n elements es una quita classa e donc es pas un ensemble.

Construccion pels ordinals

Los entièrs naturals pòdon èsser definits coma dels ordinals, es a dire, pel metòde de von Neumann, coma d'ensembles ben ordonat totes comparables per inclusion. Los entièrs naturals son los ordinals finits, aquestes que l'òrdre recipròc es tanben un bon òrdre, o encara los ordinals successors que totes los minorants son tanben d'ordinals successors.

Designacion

Enonciacion

La designacion dels entièrs dins lo lengatge es pas la mèsma d'una lenga a l'autre, quitament se se fonda en general sus uns metòdes simples.

Los primièrs entièrs an un nom especific sens ligam los uns amb los autres. En occitan, s'agís dels entièrs de un a dètz (los noms dels entièrs d'onze a quinze son de desformacions de noms compausats). De lengas an pas de mot especific al delà de dos.

L'accòlament de dos noms pòt designar lo resultat de l'addicion (coma dins detz e sièis) dels entièrs correspondants. D'autres procediments existisson utilizant la multiplicacion, la sostraccion, la division o la protraccion.

De « grands » nombres recebon tanben un nom especific, mai sovent unas poténcias d'una basa particulara. Lo sistèma decimal es mai espandit uèi. Des convencions internacionalas contradictròias prepausan de designacions estandardizadas per las cent primièras poténcias de mila o del milion.

Al delà de las limitas impausadas pel le vocabulari, la lenga ne pòt prepausar pas que de designacions per acòlament : « mila miliards de miliards… »

Escritura chifrada

Se l'escritura dels entièrs varièt fòrça dins l'istòria de las civilizacions, es uèi gaireben pertot fondada sus un mèsme sistèma de notacion decimala posicionala, quitament se la grafia dels chifres pòt subir de variacions mai o mens importantas d'un país a l'autre.

Cada entièr natural se descompausa de biais unic en una soma de multiples de poténcia de detz, de biais que cada coeficient multiplicator siá estrictament inferior a detz, donc representat per l'un dels detz chifres arabis de 0 a 9. L'escritura d'aqueste nombre se fa alara en acolant aquestes chifres renjats per òrdre desressent de las poténcias de detz correspondentas.

L'interés màger d'aquesta escritura es la simplicitat conjunta dels algoritmes de calcul pels quatre operacions aritmeticas elementàrias.

Codatge

La practica del calcul podèt se pièjar sus la manipulacion de pèiras o d'autres simbòls concrèts, d'en primièr per simbolizar una unitat per pèira, puèi en diferenciant la valor dels simbòls (una cauquilha marcant per exemple detz pèira).

La notacion posicionala permetèt de diferenciar las valors dels simbols segon lor posicion e non pas pus lor natura, çò que se traduguèt pel desvolopament de l'abac. Aqueste pricipi es encara en vigor dins las calculatridoiras e ordinators.

Aritmetica

Representacion de las operacions

Representant cada entièr per una colleccion d'objèctes (de pèiras o de getons per exemple), l'operacion d'addicion es representada per la reunion de doas colleccions, alara que la sostraccion ne ven a levar una colleccion d'una autra. Aquesta representacion mòstra plan l'impossibilitat de sostraire (dins los entièrs naturals) un nombre a un autre estrictament mai pichon.

La multiplicacion de dos entièrs naturals correspon a l'emplissatge d'un rectangle que dos costats adjacents representon cadun un dels factors.

La division euclidiana d'un entièr (nomenada dividend) per un autre (nomenat divisor e necessàriament non nul) es illustrada pel renjament de la colleccion representant lo dividend dins un rectangle qu'un costat representa lo divisor. Lo nombre de rengs complèts representa alara lo quocient alara que l'eventuala renjada incomplèta representa lo rèste, necessàriament estrictament inferior al divisor.

Multiple e divisor

Donat un entièr natural non nul, l’ensemble de sos multiples es infinit mas regularament despartit e aisidament de descriure per una seguida aritmetica. Per exemple, los multiples de 2 son los nombres pars, que sont alternats amb los nombres impars d'entre totes los entièrs.

Al contrari, l’ensemble dels divisors d’un entièr non nul es sempre finit e sa reparticion a pas gaire lo mèsme biais de regularitat. Conten de segur lo nombre de divisar e lo nombre 1, los eventuals autres divisors se situisson entre los dos extrèms. Mas es en general dificil de listar aquestes autres divisors a partir d’una escritura del nombre dins una basa donada.

Aqueste problèma es ligada en partida a la raretat dels critèris simples per determinar sens calcul se un nombre es divisible per un autre. Dins un sistèma de numeracion posicionala decimala, diferents critèris de divisibilitat son coneguts poer de pichons divisors (subretot per 2, 3, 5, 9 e 10), mas levat aquestes cases, es subretot la division euclidiana que permet de respondre a aquesta question.

Nombre primièr

Levat lo nombre 1, qu'es son sol divisor, tot nombre admet donc al mens dos divisors distinctes. Aquestes que n'admeton exactament pas que dos son nomenats nombres primièrs. Son los sols a poder reduire d’autres nombres per division, sens èsser d'esperse decomposables en produch de nombres estrictament mai pichons. N'existís una infinitat e cada nombre se descompausa de biais unic en un produch de nombres primièrs. Aquesta descomposicion permet entre autres de comprene l'estructura de l’ensemble dels divisors.

Ensemble dels entièrs naturals

Notacions

lo N , utilisat per l'ensemble dels entièrs naturals.

Diferentas notacions per l'ensemble dels entièrs naturals, comprenent o non zèro:

N $=\mathrm {I_{\,}\!\!N} =\mathbb {N} =\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} _{1}=\{1,2,\ldots \}$

$\mathrm {I_{\,}\!\!N} =\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}$

$\mathbb {N} _{\neq 0}=\mathbb {N} _{>0}=\{1,2,\ldots \}$

$\mathbb {N} _{\geq 0}=\{0,1,2,\ldots \}$

En 1894, Giuseppe Peano utiliza las notacions « N » per « nombre entièr positiu » e « N₀ » per « nombre entièr positiu o nul » dins sas Notacions de logica matematica que servisson d'introduccion a son grand projècte de formalizacion des matematicas, lo Formular de matematicas. L'utiliza coma predicat una nocion plan pròche d'aquesta d'ensemble. Atal Peano escrich « x ε N » (que s'escich uèi « x ∈ N ») çò que per el se legís « x es un nombre entièr positiu ».

La notacion istorica de l'ensemble dels entièrs naturals en imprimeria ven « N », letra capitala grassa. En escritura manuscrita aqueste caractèr es destriat d'una letra « N » doblant la primièra barra verticala, o de la barra oblica. L'edicion matematica modèrna utiliza ara los caractèrs « doblats », mas l'usatge del gras tipografic tanben contunha.

Per levar l'ambiguïtat al subjècte de la presa en compte del zèro coma entièr natural, l'ensemble es a vegada notat « N₀ ». L'indici 1 nòstra de biais similar que l'ensemble comença amb l'entièr 1. Un usatge espandit per exclure lo zèro es l'apond d'un asterisc en expausant.

Teoria dels ensembles

Lo mai pichon ordinal infinit es la bòrna superiora de totes los ordinals finits, qui son los entièrs naturals. Foguèt introduch per Georg Cantor que la notèt ω (letra minuscula grèga omèga) o ω₀. John von Neumann montrèt que los ordinals podavan èsser definits de biais a identificar un ordinal a l'ensemble de sos minorants estrictes, e l'ordinal ω s'identifica alara a l'ensemble dels entièrs naturals (un entièr natural essent d'esperel identificat a l'ensemble dels entièrs naturals que li son estrictament inferiors). En teoria dels ensembles, la letra ω es donc tanben utilizada per designar l'ensemble dels entièrs naturals. L'axiòma de l'infinit permet de mostrar l'existéncia d'aqueste ensemble.

Un ensemble denombrable es un ensemble qu'a lo mèsme cardinal que l'ensemble dels entièrs naturals (se precisa a vegada « infinit denombrable », denombrable podent tanben significar « finit o de mèsme cardinal que N »). Lo cardinal del denombrable, aqueste de N, es lo mai pichon cardinal infinit, es notat ℵ₀, alef-zèro.

En teria dels ensembles, formalament ℵ₀, se definís coma lo mai pichon ordinal infinit denombrable, o ω, e donc encara coma l'ensemble dels entièrs naturals.

Proprietats

Las operacions d'addition e de multiplicacion essent associativas, comutativas, munidas de neutres e satisfasent una proprietat de distributivitat, l'ensemble dels entièrs naturals es un semianèl.

Es ordonat per la relacion d'òrdre usuala inducha per l'addition, que li dona una estructura de bon òrdre, es a dire que tota partida non voida admet un mai pichon element. Aquesta propriatat es a la basa del rasonament per recurréncia.

L'ensemble es tanben munit de la relacion de divisibilitat qu'es un òrdre parcial.

Son cardinal es lo mai pichon nombre cardinal infinit, notat ℵ₀ (alef zèro), definissent tanben la nocion de denombrabilitat. En efièch, se dich d'un ensemble quin que siá qu'es denombrable s'existís una bijeccion d'aqueste ensemble dins aqueste dels entièrs naturals. Se contenta a vegada d'una injeccion per englobar tanben los ensembles finits.

Axiomatica de Peano

Quin que siá lo biais d'introduire los entièrs naturals, aquestes an las mèsmas proprietats fondamentalas a partir de que se desvelopa l'aritmetica. Richard Dedekind e Giuseppe Peano ne prepausèron de biais independent de las axiomatizacions qu'èran sobretot equivalentas. S'agissiá d'axiomatizacion que se dich a vegada uèi del segond òrdre: la nocion d'ensemble (o de predicat) es supausat coneguda e es pas presa en compte per l'axiomatizacion. Vaquí una presentacion modèrna d'aquestes axiòmas (dichs axiòmas de Peano) :

1. l'element nomenat zèro e notat 0, es un entièr natural.
2. Tot entièr natural n a un unic successor, sovent notat s(n) o S n (o autres variantas).
3. Pas cap d'entièr natural a 0 per successor.
4. Dos entièrs naturals avent mèsme successor son egals.
5. Se un ensemble d'entièrs naturals conten 0 e conten lo successor de cadun de sos elements, alara aqueste ensemble es egal a N.

Lo primièr axiòma permet de pausar que l'ensemble dels entièrs naturals es pas void, lo segond que lo successor es una foncion, lo quatren qu'aquesta foncion es injectiva, lo tresen que possedís un primièr element (aquestes dos axiòmas asseguran que l'ensemble dels entièrs naturals es infinit). Lo cinquen es una formulacion del principi de recurréncia.

Una proprietat importanta, demostrada per Richard Dedekind a partir d'aquestes axiòmas, es lo principi de definicion per recuréncia. Permet per exemple de definir las operacions usualas.

La construccion de Von Neumann

Von Neumann bastís l'ensemble dels entièrs naturals del biais seguissent (dins las annadas 1940)  :

${\begin{alignedat}{2}0&{}=\{\}&&{}=\emptyset ,\\1&{}=\{0\}&&{}=\{\emptyset \},\\2&{}=\{0,1\}&&{}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\\3&{}=\{0,1,2\}&&{}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}.\end{alignedat}}$

A l'ensemble voide $\{\}=\varnothing$es appariat lo nombre 0.

A l'ensemble composat de l'ensemble void $\{\varnothing \}$ es appariat lo nombre 1 ....

A l'ensemble composat dels dos d'avant $\{\emptyset ;\{\emptyset \}\}$ es appariat lo nombre 2 ....etc

L'ensemble dels entièrs naturals es donc bastit amb unencament dels ensembles (.voides !).

Bibliografia

• Peter J. Bentley, Livre des nombres, leur histoire et leurs secrets, des origines à nos jours, Eyrolles, Paris, 2009, 272 pages, ISBN 978-2-212-54226-4. Traduction par Anne-Marie Terel et Laurence Nicolaïeff du livre The Book of Numbers, Cassel Illustrated, London, 2008.
• Pierre Damphousse, L'arithmétique ou l'art de compter, Le Pommier, 2002.
• Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Éditions Seghers, Paris, Lausanne, 1981, 567 pages, ISBN 2-221-50205-1
• Benoît Rittaud, Qu'est ce qu'un nombre ?, Les Petites Pommes du Savoir, éditions le Pommier, Paris, 2011, 64 pages. ISBN 978-2-7465-0565-0

Vejatz tanben

Ligams extèrne

Nombres : curiosités, théorie et usages, site de G. Villemin