Aplicacion (matematicas) : Diferéncia entre lei versions
Contengut suprimit Contengut apondut
m robot Ajoute: an:Función matemática |
m robot Modifie: an:Función matematica; changement de type cosmétique |
||
Linha 11 :
'''Exemple''' : l'esquèma çai sus (o ''diagrama sagitau'') representa una aplicacion particulara d'un ensemble ''X'' de 3 elements (notats 1, 2, 3) dins un ensemble ''Y'' de 5 elements (notats ''a'', ... , ''e''). Se pòt interpretar ''X'' coma un ensemble de 3 objèctes destriables (son numerotats) e ''Y'' coma un ensemble de 5 boitas destriablas (son tanben "numerotadas"). Amb aquela interpretacion, cada aplicacion de ''X'' dins ''Y'' pòt èsser vista coma un dei biais de plaçar leis objèctes dins lei boitas : a cada objècte, l'aplicacion associa la boita ont es plaçat ; dins lo cas representat, leis objèctes "1", "2", "3" son plaçats respectivament dins lei boitas ''a'', ''c'', ''d''.<br />
De segur, i a d'autrei biais de lei plaçar (n'i a
:''g'' (1) = ''b'', ''g'' (2) = ''b'', e ''g'' (3) = ''b''.
Linha 22 :
== Definicions ==
* Formalament, una '''aplicacion''' ''f'' d'un ensemble ''X'' dins (o ''vèrs'') un ensemble ''Y'' es un [[pareu (matematicas)#Triplets|triplet]] <math>f = (X,\, Y,\, \Gamma_f)</math> onte <math>\ \Gamma_f</math> es un sosensemble dau [[produch cartesian]] ''X'' x ''Y'' satisfasent la condicion seguenta :<br /> per tot element ''x'' de ''X'', existís un element ''unic'' ''y'' de ''Y'' tau que <math>(x,\, y) \in \Gamma_f</math> .
** L'element ''y'' ansin definit (dich ''associat'' a ''x'') se nòta ''f''(''x'') : es l''''imatge''' de ''x'' per l'aplicacion ''f'', o la '''valor''' de ''f'' en ''x''.
** S'escriu <math>f : X \to Y</math> (que se liège : « ''f'' (es una) aplicacion de ''X'' dins ''Y'' »).
Linha 34 :
:<math>\Gamma_f = \{(x,\, f(x)) \mid x \in X\}</math>
=== Aplicacion identica d'un ensemble ''X'' ===
Es l'aplicacion de ''X'' dins ''X'', notada <math>\ id_X</math> , qu'a cada element ''x'' de ''X'' associa lo meteis element ''x''.
:<math>id_X : X \to X,\, x \mapsto x</math> ; autrament dich : <math>\ id_X(x) = x</math> per tot ''x'' dins ''X''.
Linha 40 :
:<math>\Delta_X = \{(x,\, y) \mid (x \in X) \wedge (y \in X) \wedge (y = x)\;\}</math>; autrament dich : <math>\Delta_X = \{(x,\, x) \mid x \in X\;\}</math>
=== Aplicacion constanta sus un ensemble ''X'' ===
Se ditz qu'una aplicacion <math>f : X \to Y</math> es '''constanta''' s'existís un element (fixat) <math>\ y_0</math> de ''Y'' tau que <math>\ f(x) = y_0</math> per tot element ''x'' de ''X'' : es una aplicacion tala que la valor de ''f'' en un ponch ''x'' siá independenta de ''x'' (totei leis elements de ''X'' an lo meteis imatge per ''f'' ; dins l'interpretacion ja donada, totei leis objèctes son plaçats dins la meteissa boita).
=== Egalitat de doas aplicacions ===
Segon la definicion ''supra'', doas aplicacions <math>f_1 : X_1 \to Y_1</math> e <math>f_2 : X_2 \to Y_2</math> son egalas se e solament se :
# <math>\ X_1 = X_2</math>
Linha 55 :
# <math>\ f_1(x) = f_2(x)</math> per tot element ''x'' de ''X''
=== Ensembles d'aplicacions ===
L'ensemble deis aplicacions de ''X'' dins ''Y'' se nòta indiferentament <math>\mathcal{A}(X,\, Y)</math> o (coma una poténcia) <math>\ Y^X</math> .
== Imatge dirècte ==
Siá una aplicacion <math>f : X \to Y</math> .
=== Imatge d'una aplicacion ===
Un element ''y'' de ''Y'' es una ''valor'' de ''f'' se e solament s'existís (aumens) un element ''x'' de ''X'' tau que ''f''(''x'') = ''y''. Se sòna '''imatge''' de l'aplicacion ''f'' l'ensemble dei valors de ''f'' ; es un sosensemble dau codomeni ''Y'' que se nòta <math>\ \mathrm{im}(f)</math>. Per definicion :
:<math>\mathrm{im}(f) = \{(y \mid (y \in Y) \wedge (\exists x, (x \in X) \wedge (f(x) = y))\;\}</math> ;
Linha 68 :
:<math>\mathrm{im}(f) = \{f(x) \mid x \in X\;\}</math>
==== Exemples ====
* Dins l'exemple representat sus la figura en tèsta d'article, <math>\mathrm{im}(f) = \{a,\, c,\, d\;\}</math> . En interpretant ''f'' coma un biais particular de plaçar lei 3 objèctes dins lei 5 boitas, l'imatge de ''f'' es l'ensemble dei boitas que contènon aumens un objècte.
* Siá l'aplicacion <math>f_1 : \mathbb R \to \mathbb R,\, x \mapsto f_1(x) = x^2</math> . A per imatge <math>\mathrm{im}(f_1) = \mathbb R^+</math> , l'ensemble dei nombres reaus positius. Aquò se demòstra per inclusion dobla :
** Se ''y'' es dins l'imatge de <math>f_1</math> , existís un reau ''x'' tau que <math>\ y = x^2</math>, donc ''y'' es positiu, çò que pròva l'inclusion <math>\mathrm{im}(f_1) \subset \mathbb R^+</math> .
** Reciprocament, se ''y'' es un reau positiu, se pòt definir <math>x = \sqrt{y}</math> ; alora <math>\ f_1(x) = y</math> , donc ''y'' es dins l'imatge de <math>\ f_1</math> ; aiçò pròva l'inclusion <math>\mathbb R^+ \subset \mathrm{im}(f_1)</math> .
Linha 79 :
'''Remarca''' : leis aplicacions <math>f_1,\, f_2</math> an lo meteis domeni <math>\mathbb R</math> e lo meteis grafe <math>\Gamma = \{(x,\, x^2) \mid x \in \mathbb R\} </math> , mai ''son diferentas'', qu'an pas lo meteis codomeni : la segonda es subrejectiva e la premiera o es pas.
=== Generalizacion ===
Estent un sosensemble (o ''partida'') ''A'' de ''X'', se definís l'ensemble :
:<math>f(A) = \{y \mid (y \in Y) \wedge (\exists x,(x \in A) \wedge (f(x) = y))\;\} </math> ;
Linha 88 :
* En particular, <math>\ \mathrm{im}(f) = f(X)</math> .
== Imatge invèrs ==
Siá una aplicacion <math>f : X \to Y</math> .
Linha 95 :
Se ditz que <math>\ f^{-1}(B)</math> es l''''imatge invèrs''' de ''B'' per l'aplicacion ''f''. Es un sosensemble dau domeni ''X'' de ''f''.
== Composicion d'aplicacions ==
Es una nocion essenciala. Compausar doas aplicacions consistís a leis encadenar. Estent <math>f : X \to Y</math> e <math>g : Y \to Z</math> d'aplicacions talei que lo codomeni ''Y'' de la premiera siá lo domeni de la segonda, se pòt, per cada element ''x'' de ''X'', determinar son imatge ''y'' = ''f''(''x'') per ''f'', qu'es un element de ''Y'', puei l'imatge ''z'' = ''g''(''y'') de ''y'' per ''g'', qu'es l'element <math>\ z = g(f(x))</math> de ''Z'' :
:::::::::<math>X \to \,\,Y\;\; \to \;\;\,Z</math>
Linha 106 :
'''Remarca''' : còmpte tengut dei notacions, dins l'escritura <math>g \circ f</math> , la succession deis aplicacions se liège de la drecha vèrs la senèstra.
=== Associativitat de la composicion d'aplicacions ===
Estent tres aplicacions <math>f : X \to Y</math> , <math>g : Y \to Z</math> e <math>h : Z \to W</math> talei que lo codomeni ''Y'' de caduna dei doas premieras siá lo domeni de la seguenta. Alora :
:<math>h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f</math>
Linha 115 :
:<math>h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f = h \circ g \circ f : X \to W</math>
=== Compausada d'una aplicacion amb una aplicacion identica ===
Siá una aplicacion <math>f : X \to Y</math> . Alora (ben s'avisar de l'òrdre):
:::::::::::<math>f \circ id_X = f</math>
Linha 124 :
::::::::::<math>x\;\; \stackrel{id_X}{\mapsto}\;\; x\;\;\; \stackrel{f}{\mapsto}\;\; f(x)</math>
[[Categoria:Teoria deis ensembles]]
Linha 132 ⟶ 130:
[[af:Funksie]]
[[an:Función
[[ar:دالة رياضية]]
[[az:Funksiya (riyaziyyat)]]
| |||