Superfícia (matematicas)

Aquest article tracta de la superfícia coma objècte matematic; per la mesura dei superfícias, vejatz aira.

---

En matematicas, e pus particularament en topologia, una superfícia (o superficia) es una varietat de dimension 2, o varietat bidimensionala. Lo concèpte matematic de «superfícia» es una abstraccion de formas geometricas familiaras de l'espaci, coma lo bòrd de còrs solides. Lo caractèr bidimensionau significa que se pòt localizar cada ponch d'una superfícia per mejan de dos nombres reaus, que son sei coordenadas (dichas «localas») sus la superfícia. Per exemple, cada ponch d'una esfèra (lo bòrd d'una bola plena) se pòt localizar per sa latitud e sa longitud.

Una superfícia pòt èsser plana o non (çò es corba), boinada o non, sarrada o non, orientabla o non...

Remarca: la mesura d'una superfícia es son aira, e fau ben destriar lei doas nocions. Mai lo tèrme de superfícia se pòt emplegar coma sinonim d'aira, e per exemple se parlarà indiferentament d' unitat d'aira o d' unitat de superfícia. Lo castelhan, lo catalan e l'italian an d'usatges analògs.

Superfícia dins l'espaci euclidian de dimension 3

Definicions

I a tres biais usuaus de definir una superfícia dins un espaci euclidian de dimension 3 (provesit d'un sistèma de coordenadas cartesianas). Es possible de passar d'un a un autre, aumens dins cèrtei condicions. Segon lo cas, se ditz que la definicion es donada sota forma parametrica, explicita, o implicita.

• Forma parametrica - la superfícia se definís coma l'imatge d'una foncion continua e injectiva de doas variablas realas dins l'espaci euclidian tridimensionau $\psi =(\psi _{1},\psi _{2},\psi _{3}):U\to \mathbb {R} ^{3}$, onte U es una partida dubèrta dau plan $\mathbb {R} ^{2}$. Lei coordenadas cartesianas dei ponchs de la superfícia son donadas per leis eqüacions parametricas:

  $x=\psi _{1}(u,v)$

  $y=\psi _{2}(u,v)$

  $z=\psi _{3}(u,v)$

  onte lo ponch (u, v) percorre l'ensemble dubèrt U. Se pòt considerar lei dos paramètres u, v coma lei coordenadas dau ponch M = (x, y, z) sus la superfícia.
• Forma explicita - la superfícia se definís coma grafic d'una foncion reala de doas variablas realas: estent una foncion continua $f:U\to \mathbb {R}$ (onte U es una partida dubèrta de $\mathbb {R} ^{2}$), la superfícia es l'ensemble dei ponchs (x, y, f(x, y)). Sovent se ditz simplament que la superfícia a per eqüacion:

  $z=f(x,y)\,$

• Forma implicita - la superfícia se definís coma l'ensemble dei ponchs que sei coordenadas (x, y, z) verifican una eqüacion cartesiana:

  $F(x,y,z)=0\,$

  onte $F:V\to \mathbb {R}$ es una foncion diferenciabla subre una partida dubèrta V de $\mathbb {R} ^{3}\,$, amb un gradient jamai nul.

Relacions entre lei definicions precedentas

La forma explicita de la definicion d'una superfícia es un cas particular de la forma parametrica; basta d'escriure:

$x=u\,$

$y=v\,$

$z=f\,(u,v)$

La forma explicita de la definicion d'una superfícia tanben es un cas particular de la forma implicita; basta de definir:

$F:U\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=z-f(x,y)\,$.

Mai en generau, se pòt pas passar de la forma parametrica o de la forma implicita de la definicion a una forma explicita, qu'una superfícia definida parametricament o implicitament es pas necessariament lo grafic d'una foncion de doas variablas. Autrament dich, la classa dei superfícias que se pòt definir explicitament es pus restrencha que lei doas autras.

Sota cèrtei condicions, una superfícia definida implicitament admet localament una definicion explicita; es un corollari dau teorèma de la foncion implicita.

Superfícia abstracha

Definicion

La botelha de Klein es una superfícia que se pòt pas immergir dins $\mathbb {R} ^{3}$.

Una generalizacion independenta de l'espaci ambient ($\mathbb {R} ^{3}$ dins lei cas vists supra) consistís a definir una superfícia coma una varietat topologica de dimension 2. Lei definicions dau paragraf precedent balhan d'exemples de superfícias immergidas dins l'espaci euclidian de dimension 3. Existisson de superfícias abstrachas que se pòdon pas immergir dins $\mathbb {R} ^{3}$, coma la botelha de Klein (que pasmens se pòt immergir dins $\mathbb {R} ^{4}$).

Es sovent preferible de definir una superfícia coma varietat diferenciabla puslèu que topologica.

Orientabilitat

La benda de Möbius a una soleta fàcia.

Una superfícia es orientabla s'a doas «fàcias», non orientabla se n'a ren qu'una. L'esfèra es orientabla: se pòt destriar una fàcia intèrna e una fàcia extèrna. Un exemple celèbre de superfícia non orientabla es la benda de Möbius.

Superfícias remarcablas

• l'esfèra
• lo cilindre
• lo tòr
• la benda de Möbius
• la botelha de Klein
• lo plan projectiu

Vejatz tanben

• Aira
• Varietat (geometria)
• Classificacion dei superfícias

Liames extèrnes

• (fr) Exemples de superfícias per Mathcurve, Encyclopédie des formes mathématiques remarquables